Calcule a integral ∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 d x usando

(b) a substituição u = raiz(x^2 + 1) .

Passo 1

Usando a substituição que ele fala, a gente fica com:

u = x 2 + 1 ∴ u 2 = x 2 + 1 ∴ u 2 - 1 = x 2

d u d x = x x 2 + 1 ∴ d x = x 2 + 1 x d u

Substituindo d x na integral:

∫ x 3 x 2 + 1 ⋅ x 2 + 1 x d u = ∫ x 2 d u

Substituindo x 2 = u 2 - 1 :

∫ u 2 - 1 d u = u 3 3 - u

Voltando para x , já que u = x 2 + 1 :

∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 d x = x 2 + 1 3 2 3 - x 2 + 1   ​ 0 1 =

= 2 2 3 - 1 3 - 2 - 1 = 2 - 2 3

Resposta

2 - 2 3

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