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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 8b

Calcule a integral int_0^1 (x^3)/(sqrt(x^2 + 1)) d x usando

(b) a substituição u = sqrt(x^2 + 1) .

Passo 1

Usando a substituição que ele fala, a gente fica com:

u = sqrt(x^2 + 1) :. u^2 = x^2 + 1 :. u^2 - 1 = x^2

(d u)/(d x) = (x)/(sqrt(x^2 + 1)) :. d x = (sqrt(x^2 + 1))/(x) d u

Substituindo d x na integral:

int (x^3)/(sqrt(x^2 + 1)) * (sqrt(x^2 + 1))/(x) d u = int x^2 d u

Substituindo x^2 = u^2 - 1 :

int u^2 - 1 d u = (u^3)/(3) - u

Voltando para x , já que u = sqrt(x^2 + 1) :

int_0^1 (x^3)/(sqrt(x^2 + 1)) d x = ((x^2 + 1)^((3)/(2)))/(3) - sqrt(x^2 + 1) (​|_0^1 =

= (2 sqrt(2))/(3) - (1)/(3) - (sqrt(2) - 1) = (2 - sqrt(2))/(3)

Resposta

(2 - sqrt(2))/(3)

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