Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 193

Sabendo que s e n x = (15)/(17) , s e n y = - (3)/(5) , 0 < x < (pi)/(2) e pi < y < (3 pi)/(2) , calcule s e n ( x + y ) , c o s ( x + y ) e t g ( x + y ) .

Passo 1

De início, como temos o seno de x e de y, vamos calcular o cosseno e posteriormente a tangente de x e de y, afim de usar as fórmulas do seno, cosseno e tangente da soma.Usando a relação fundamental da trigonometria: s e n^2 x + cos^2 x = 1 cos^2 x = 1 - s e n^2 x cos x = sqrt(1 - s e n^2 x) Substituindo s e n x = (15)/(17) : cos x = sqrt(1 - ((15)/(17))^2) = sqrt((64)/(289)) = (8)/(17) , t o m a m o s a r a í z p o s i t i v a p e l a r e s t r i ç ã o 0 < x < (pi)/(2) Substituindo s e n y = - (3)/(5) :

cos y = sqrt(1 - (- (3)/(5))^2) = sqrt((16)/(25)) = (4)/(5) , t o m a m o s a r a í z n e g a t i v a p e l a r e s t r i ç ã o pi < y < (3 pi)/(2)

Para o próximo passo vamos usar cos x = (8)/(17) e cos y = - (4)/(5) . agora para calcular a tangente, vamos utilizar a expressão:

t g x = (s e n x)/(cos x) Utilizando os dados de x, temos: t g x = ((15)/(17))/((8)/(17)) = (15)/(8) Utilizando os dados de y, temos: t g y = (- (3)/(5))/(- (4)/(5)) = (3)/(4)

Passo 2

Primeiro vamos calcular s e n (x + y) . Para isso vamos utilizar a fórmula da soma de senos:

s e n (a + b) = s e n a * cos b + s e n b * cos a

Logo:

s e n (x + y) = s e n x * cos y + s e n y * cos x

Substituindo os valores que encontramos no passo anterior ficaremos com: s e n (x + y) = (15)/(17) * - (4)/(5) + (- (3)/(5)) * (8)/(17) = - (60)/(85) - (24)/(85) = - (84)/(85)

Passo 3

Agora vamos calcular cos ( x + y ) . Para isso vamos utilizar a fórmula do cosseno da soma: c o s (a + b) = c o s a * c o s b - s e n a * s e n b

Logo: c o s (x + y) = c o s x * c o s y - s e n x * s e n y

Substituindo os valores que encontramos no primeiro passo ficaremos com: cos ( x + y ) = (8)/(17) * (- (4)/(5)) - (15)/(17) * (- (3)/(5)) = - (32)/(85) + (45)/(85) = (13)/(85)

Passo 4

Finalmente, vamos calcular t g ( x + y ) , utilizando a fórmula da tangente da soma:

t g (a + b) = (t g a + t g b)/(1 - t g a * t g b)

Logo: t g (x + y) = (t g x + t g y)/(1 - t g x * t g y)

Substituindo os valores que encontramos no primeiro passo ficaremos com: t g (x + y) = ((15)/(8) + (3)/(4))/(1 - (15)/(8) * (3)/(4)) = ((21)/(8))/((- 13)/(32)) = - (84)/(13)

Resposta

s e n (x + y) = - (84)/(85) , cos (x + y) = (13)/(85) e t g (x + y) = - (84)/(13)

Exercícios de Livros Relacionados

Sendo s e n alpha = (2)/(3) , com 0api , calcule cos ((pi)/(4) + alpha)
Se sec x = (4)/(3) e 0x(pi)/(2) , calcule t g 3 x .
Sabendo que cos x = (24)/(25) e 0x(pi)/(2) , calcule s e n (x)/(4) , cos (x)/(4) e t g (x)/(4)
Se cos x = (3)/(5) e (3 pi)/(2)x2 pi , calcule s e n 3 x .