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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 16

A função diferenciavel f ( x , y , z ) tem, no ponto ( 1,1 , 1 ) , derivada direcional igual a 1 na direção 4 j ^ + 3 k ^ , igual a 2 na direção - 4 i ^ + 3 j ^ e igual a zero na direção j ^ . Calcule o valor máximo de ∂ f ∂ u → 1,1 , 1 .

Passo 1

Questãozinha de gradiente hein galera! (particularmente eu amo essas questões) Vamos dividir ela em passos e ir matando a questão de pouquinho hein poquinho, beleza?! SIMBORAAA! Temos que para essa questão, a relação de direção máxima se dá por:

∂ f ∂ u → 1,1 , 1 = ∇ f 1,1 , 1 ∙ u ^

Onde u ^ é o versor que temos que achar! De forma genérica esse versor é da forma

u ^ = α i ^ + β j ^ + γ k ^

Onde

α 2 + β 2 + γ 2 = 1

Já que u ^ é unitário.

Passo 2

Se continuarmos a conta da derivada direcional ficamos com

∂ f ∂ u → 1,1 , 1 = ∇ f 1,1 , 1 ∙ u ^ = f x 1,1 , 1 ,   f y 1,1 , 1 ,   f z 1,1 , 1 ⋅ α ,   β ,   γ

∂ f ∂ u → 1,1 , 1 = α f x 1,1 , 1 + β f y 1,1 , 1 + γ f z ( 1,1 , 1 )

Então agora o problema se resume a achar α , β e γ que maximizem ∂ f ∂ u → .

Mas nós não temos as derivadas parciais de f em relação a x , y e z nesse ponto. Pra isso vamos ter que usar as informações do enunciado, beleza?

Passo 3

Vou começar pela terceira informação do enunciado por que essa informação é mais simples.

O enunciado diz que a derivada direcional é nula na direção j ^ , ou seja

∂ f ∂ j ^ 1,1 , 1 = ∇ f 1,1 , 1 ∙ j ^ = 0

Desenvolvendo esse negócio aí

∂ f ∂ j ^ 1,1 , 1 = f x 1,1 , 1 ,   f y 1,1 , 1 ,   f z 1,1 , 1 ⋅ 0,1 , 0 = f y 1,1 , 1

Como isso é nulo, então temos que

f y 1,1 , 1 = 0

Show! Já achamos uma! Vamos pras outras :D

Passo 4

A primeira informação do enunciado é que a derivada na direção 4 j ^ + 3 k ^ é igual a 1 . O vetor unitário que representa essa direção é

u ^ = 4 j ^ + 3 k ^ 4 j ^ + 3 k ^ = 4 j ^ + 3 k ^ 4 2 + 3 2 = 4 5 j ^ + 3 5 k ^

Aplicando isso, temos

∂ f ∂ u → 1,1 , 1 = ∇ f 1,1 , 1 ∙ 4 5 j ^ + 3 5 k ^

∂ f ∂ u → 1,1 , 1 = f x 1,1 , 1 ,   f y 1,1 , 1 ,   f z 1,1 , 1 ⋅ 0 , 4 5 , 3 5

∂ f ∂ u → 1,1 , 1 = 4 5 f y 1,1 , 1 + 3 5 f z 1,1 , 1

Mas já sabemos do passo anterior que f y 1,1 , 1 = 0 e que o valor a esquerda é 1

1 = 3 5 f z 1,1 , 1

f z 1,1 , 1 = 5 3

Show! Falta só uma!

Passo 5

A segunda informação do enunciado é que a derivada na direção - 4 i ^ + 3 j ^ é igual a 2 . Escrevendo agora o vetor unitário que representa essa direção

u ^ = - 4 i ^ + 3 j ^ - 4 i ^ + 3 j ^ = - 4 i ^ + 3 j ^ - 4 2 + 3 2 = - 4 5 i ^ + 3 5 j ^

Aplicando na nossa derivada vamos ter

∂ f ∂ u → 1,1 , 1 = ∇ f 1,1 , 1 ∙ - 4 5 i ^ + 3 5 j ^

∂ f ∂ u → 1,1 , 1 = f x 1,1 , 1 ,   f y 1,1 , 1 ,   f z 1,1 , 1 ⋅ - 4 5 , 3 5 ,   0

∂ f ∂ u → 1,1 , 1 = - 4 5 f x 1,1 , 1 + 3 5 f y 1,1 , 1

De novo apareceu esse f y ( 1,1 , 1 ) que sabemos que é 0 . E o lado esquerdo da equação é 2 , então

2 = - 4 5 f x 1,1 , 1

f x 1,1 , 1 = - 5 2

Passo 6

Agora que sabemos todas as derivadas parciais finalmente podemos olhar a derivada direcional que calculamos lááá no passo 2

∂ f ∂ u → 1,1 , 1 = α f x 1,1 , 1 + β f y 1,1 , 1 + γ f z ( 1,1 , 1 )

Que vai ser

∂ f ∂ u → 1,1 , 1 = α - 5 2 + β 0 + γ 5 3

∂ f ∂ u → 1,1 , 1 = - α 5 2 + γ 5 3

Agora queremos que isso seja máximo nos limitando a

α 2 + β 2 + γ 2 = 1

Essa derivada direcional vai ser maior possível quando α for um valor positivo e γ for um valor positivo! Como temos que obedecer que α 2 + β 2 + γ 2 = 1 , então o ideal é β seja nulo já que ele nem entra na nossa equação, assim vamos ter

α 2 + γ 2 = 1 → α = ± 1 - γ 2 → α = - 1 - γ 2

Onde fazemos α ser negativo. Jogando esse valor na derivada direcional temos

∂ f ∂ u → 1,1 , 1 = 1 - γ 2 5 2 + γ 5 3

Agora temos que maximar isso daí! Como só temos uma variável basta derivar o lado direito da equação.

Seja

I = 1 - γ 2 5 2 + γ 5 3

A derivada de I em relação a γ é

d I d γ = 1 2 1 1 - γ 2 5 2 - 2 γ + 5 3  

Para que seja um máximo vamos impor que d I d γ = 0 , então

1 2 - 2 γ 1 - γ 2 5 2 + 5 3 = 0 → 5 γ 2 1 - γ 2 = 5 3

3 γ = 2 1 - γ 2

Elevando os dois lados ao quadrado ficamos com

9 γ 2 = 4 - 4 γ 2 → 13 γ 2 = 4

γ = ± 2 13 → γ = 2 13

Lembrando que queremos γ > 0 .

Com esse valor de γ podemos agora achar o valor de α

α = - 1 - γ 2 = - 1 - 2 13 2 = - 1 - 4 13 = - 13 - 4 13

α = - 3 13

Já sabemos qual é a direção que nos dá o máximo da derivada direcional

u ^ = α ,   β ,   γ = - 3 13 ,   0 , 2 13

Assim podemos determinar esse valor máximo (que foi o que o enunciado pediu, lembra?)

∂ f ∂ u → 1,1 , 1 = - α 5 2 + γ 5 3

∂ f ∂ u → 1,1 , 1 m a x = - - 3 13 5 2 +   2 13 5 3 = 45 + 20 6 13

∂ f ∂ u → 1,1 , 1 m a x = 65 6 13  

E ufa! Cabô :)

Resposta

65 6 13

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