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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 2t

Calcule a derivada.

y = e^(- 3 x) (cos 3 x - sen 3 x)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra do produto:

(f (x) g (x))^' = f ' ( x ) g (x) + g ' (x) f (x)

Temos que:

f (x) = e^(- 3 x)

e

g (x) = (cos 3 x - sen 3 x)

y^' = (e^(- 3 x) (cos 3 x - sen 3 x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) = (e^(- 3 x))^' * (cos 3 x - sen 3 x) + (cos 3 x - sen 3 x)^' * (e^(- 3 x))

Passo 2

Para calcular as derivadas vamos usar a regra da função exponencial, da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia, que já está aplicada em algumas fórmulas:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ' ( x )

(sen (x))^' = cos (x)

(cos (x))^' = - sen (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

y^' = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 3

Para calcular f^' (x) vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

f ' ( x ) = (e^(- 3 x))^' = e^(- 3 x) * (- 3 x)^' = e^(- 3 x) * (- 3 x^(1 - 1)) = e^(- 3 x) * (- 3 x^0) = e^(- 3 x) * (- 3 * 1) = - 3 e^(- 3 x)

Com g ' ( x ) usamos a regra da função trigonométrica e a do polinômio:

g^' (x) = (cos 3 x - sen 3 x)^' = - sen (3 x) * (3 x)^' - cos (3 x) * (3 x)^' = - sen (3 x) * (3 x^(1 - 1)) - cos (3 x) * (3 x^(1 - 1)) = - sen (3 x) * (3 x^0) - cos (3 x) * (3 x^0) = - sen (3 x) * (3 * 1) - cos (3 x) * (3 * 1) = - 3 sen (3 x) - 3 cos (3 x)

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y^' = (e^(- 3 x) (cos 3 x - sen 3 x))^' = (e^(- 3 x))^' * (cos 3 x - sen 3 x) + (cos 3 x - sen 3 x)^' * (e^(- 3 x)) = (- 3 e^(- 3 x)) * (cos 3 x - sen 3 x) + (- 3 sen (3 x) - 3 cos (3 x)) * (e^(- 3 x)) = - 3 e^(- 3 x) cos 3 x + 3 e^(- 3 x) sen 3 x - 3 e^(- 3 x) sen (3 x) - 3 e^(- 3 x) cos (3 x) = - 6 e^(- 3 x) cos 3 x

Resposta

y ' = - 6 e^(- 3 x) cos 3 x

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