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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 70e

Radianos versus graus: derivadas no modo grau. O que aconteceria com as derivadas de sen ⁡ x e cos ⁡ x se x fosse medido em graus em vez de radianos? Para descobrir isso, siga os seguintes passos:

  1. Selecione o modo grau da calculadora gráfica ou computador e faça o gráfico de

    2. f h = sen ⁡ h h

    E estime lim h → 0 ⁡ f ( h ) . Compare sua estimativa com π / 180 . Existe alguma razão para acreditar que o limite deveria ser π / 180 ?

  2. Ainda no modo grau da calculadora gráfica, estime

    3. lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h - 1 h

  3. Agora volte para a dedução da fórmula para a derivada de sen ⁡ x no texto e siga os passos da derivação usando limites no modo grau. Que fórmula você obtém para a derivada?
  4. Agora volte para a dedução da fórmula para a derivada de cos ⁡ x no texto e siga os passos da derivação usando limites no modo grau. Que fórmula você obtém para a derivada?
  5. As desvantagens das fórmulas no modo grau se tornam evidentes quando você começa a lidar com derivadas de ordem superior. Tente. No modo grau, quais são a segunda e terceira derivadas de sen ⁡ x e cos ⁡ x ?

Passo 1

Questões com muito texto pode nos confundir. Vamos começar por determinar o que precisamos fazer exatamente em cada letra.

  1. Vamos obter o gráfico de f ( h ) , calcular o valor de lim h → 0 ⁡ f ( h ) e comparar com π / 180 ;
  2. Vamos calcular o limite da função dada;
  3. Derivar pela definição a função sen ⁡ x ;
  4. Mesmo procedimento do passo anterior, mas pra cos ⁡ x ;
  5. Obter a segunda e terceira derivada de sen ⁡ x e cos ⁡ x .

Passo 2

Vamos obter a segunda derivada das funções sen ⁡ x e cos ⁡ x .

d 2 d x 2 sen ⁡ x = d d x π 180 cos ⁡ x = π 180 ⋅ d d x cos ⁡ x = - π 2 180 2 ⋅ sen ⁡ x

d 2 d x 2 cos ⁡ x = d d x - π 180 sen ⁡ x = - π 180 ⋅ d d x sen ⁡ x = - π 2 180 2 ⋅ cos ⁡ x

Passo 3

E agora, vamos obter a terceira derivada das funções.

d 3 d x 3 sen ⁡ x = d d x - π 2 180 2 ⋅ sen ⁡ x = - π 2 180 2 ⋅ d d x sen ⁡ x = - π 3 180 3 ⋅ cos ⁡ x

d 3 d x 3 cos ⁡ x = d d x - π 2 180 2 ⋅ cos ⁡ x = - π 2 180 2 ⋅ d d x cos ⁡ x = π 3 180 3 ⋅ sen ⁡ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule f ' ( x ) , pela definição. h )f x = 1 x 2
Calcule f ' ( x ) , pela definição. a )f x = x 2 + x
Seja f x = 2 x . Pensando geometricamente, qual o valor que você espera para f ' ( p ) ? Calcule f ' ( p ) .
Calcule f ' ( p ) , pela definição, sendo dados f )f x = 1 x 2 ; p = 2
Calcule f ' ( p ) , pela definição, sendo dados a )f x = x ; p = 4