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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 2l

Calcule a derivada.

y = ln (1 + tg (x)/(2))/(1 - tg (x)/(2))

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Temos que g (x) é a função mais de dentro e f (x) a função mais de fora:

u = g (x) = (1 + tg (x)/(2))/(1 - tg (x)/(2))

f (u) = ln u

Assim temos então que:

y^' = f^' (g (x)) * g^' (x) = (ln u)^' * ((1 + tg (x)/(2))/(1 - tg (x)/(2)))^'

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função constante, da função logarítmica natural, do polinômio, da função trigonométrica e da divisão:

(c)^' = 0

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(tg (x))^' = sec^2 (x)

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Passo 3

Primeiro vamos calcular f^' (g (x)) :

f^' (g (x)) = (ln u)^' = (1)/(u) * (u)^' = (1)/(u) * u^(1 - 1) = (1)/(u) * u^0 = (1)/(u) * 1 = (1)/(u)

Agora para g^' (x) :

g^' (x) = ((1 + tg (x)/(2))/(1 - tg (x)/(2)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2) = ((1 + tg (x)/(2))^' (1 - tg (x)/(2)) - (1 + tg (x)/(2)) (1 - tg (x)/(2))^')/([1 - tg (x)/(2)]^2) = ((0 + sec^2 (x)/(2) ((x)/(2))^') (1 - tg (x)/(2)) - (1 + tg (x)/(2)) (0 - sec^2 (x)/(2) ((x)/(2))^'))/([1 - tg (x)/(2)]^2) = ((sec^2 (x)/(2) ((1)/(2) x^(1 - 1))) (1 - tg (x)/(2)) - (1 + tg (x)/(2)) (- sec^2 (x)/(2) ((1)/(2) x^(1 - 1))))/((1 - tg (x)/(2))^2) = ((sec^2 (x)/(2) ((1)/(2) x^0)) (1 - tg (x)/(2)) - (1 + tg (x)/(2)) (- sec^2 (x)/(2) ((1)/(2) x^0)))/((1 - tg (x)/(2))^2) = ((sec^2 (x)/(2) ((1)/(2) * 1)) (1 - tg (x)/(2)) - (1 + tg (x)/(2)) (- sec^2 (x)/(2) ((1)/(2) * 1)))/((1 - tg (x)/(2))^2) = (((1)/(2) sec^2 (x)/(2)) (1 - tg (x)/(2)) - (1 + tg (x)/(2)) (- (1)/(2) sec^2 (x)/(2)))/((1 - tg (x)/(2))^2) = ((1)/(2) sec^2 (x)/(2) - (1)/(2) sec^2 (x)/(2) tg (x)/(2) + (1)/(2) sec^2 (x)/(2) + (1)/(2) sec^2 (x)/(2) tg (x)/(2))/((1 - tg (x)/(2))^2) = (sec^2 (x)/(2))/((1 - tg (x)/(2))^2)

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y^' = (1)/(u) * (sec^2 (x)/(2))/((1 - tg (x)/(2))^2) = (1)/(u) * (sec^2 (x)/(2))/((1 - tg (x)/(2))^2)

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

y^' = (1)/((1 + tg (x)/(2))/(1 - tg (x)/(2))) * (sec^2 (x)/(2))/((1 - tg (x)/(2))^2) = (sec^2 (x)/(2))/((1 + tg (x)/(2)) (1 - tg (x)/(2))) = (sec^2 (x)/(2))/((1 + tg (x)/(2)) (1 - tg (x)/(2)))

Resposta

y^' = (sec^2 (x)/(2))/((1 + tg (x)/(2)) (1 - tg (x)/(2)))

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