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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 34

Calcule a derivada indicada.

D_y (root(4)((y^3 + 1)/(y^3 - 1)))

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. Antes de derivarmos, vamos reescrever a função:

root(4)((y^3 + 1)/(y^3 - 1)) = root(4)(h ( y )) = (h (y))^(1 // 4) ,

onde h é dada por

h (y) = (y^3 + 1)/(y^3 - 1)

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia:

D_y (root(4)((y^3 + 1)/(y^3 - 1))) = D_y ((h (y))^((1)/(4))) = (1)/(4) (h (y))^((1)/(4) - 1) * h ' ( y )

Assim,

D_y (root(4)((y^3 + 1)/(y^3 - 1))) = (1)/(4 (h (y))^(3 // 4)) * h^' (y) = root(4)(((y^3 - 1)/(y^3 + 1))^3) * (h^' (y))/(4)

Passo 3

Agora vamos achar h ' ( y ) usando a regra do quociente:

h^' (y) = ((y^3 + 1)^' (y^3 - 1) - (y^3 + 1) ( y^3 - 1 ) ')/((y^3 - 1)^2) = (3 y^2 (y^3 - 1) - 3 y^2 ( y^3 + 1 ))/((y^3 - 1)^2)

Portanto,

h^' (y) = - (6 y^2)/((y^3 - 1)^2)

Assim,

D_y (root(4)((y^3 + 1)/(y^3 - 1))) = root(4)(((y^3 - 1)/(y^3 + 1))^3) * (- (6 y^2)/(4 (y^3 - 1)^2)) = - (3 y^2)/(2 (y^3 - 1)^2) root(4)(((y^3 - 1)/(y^3 + 1))^3)

Resposta

D_y (root(4)((y^3 + 1)/(y^3 - 1))) = - (3 y^2)/(2 (y^3 - 1)^2) root(4)(((y^3 - 1)/(y^3 + 1))^3)

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