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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 26

Calcule a derivada indicada.

(d)/(d x) (sqrt(x^2 - 5) * root(3)(x^2 + 3))

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. Para isso, vamos usar a regra do produto:

(d)/(d x) (sqrt(x^2 - 5) * root(3)(x^2 + 3)) = (sqrt(x^2 - 5))^' * root(3)(x^2 + 3) + sqrt(x^2 - 5) * (root(3)(x^2 + 3))^'

Resta apenas calcular essas derivadas.

Passo 2

Vamos calcular primeiro (sqrt(x^2 - 5))^' usando a regra da cadeia:

(sqrt(x^2 - 5))^' = ((x^2 - 5)^((1)/(2)))^' = (1)/(2) (x^2 - 5)^(- 1 // 2) * (x^2 - 5)^' = (x)/(sqrt(x^2 - 5))

Procedendo da mesma forma, vamos calcular (root(3)(x^2 + 3))^' :

(root(3)(x^2 + 3))^' = ((x^2 + 3)^((1)/(3)))^' = (1)/(3) (x^2 + 3)^((1)/(3) - 1) * (x^2 + 3)^' = (2 x)/(3 root(3)((x^2 + 3)^2))

Passo 3

Assim, substituindo na expressão encontrada no passo 1, temos que

(d)/(d x) (sqrt(x^2 - 5) * root(3)(x^2 + 3)) = (x root(3)(x^2 + 3))/(sqrt(x^2 - 5)) + (2 x sqrt(x^2 - 5))/(3 root(3)((x^2 + 3)^2))

Resposta

(d)/(d x) (sqrt(x^2 - 5) * root(3)(x^2 + 3)) = (x root(3)(x^2 + 3))/(sqrt(x^2 - 5)) + (2 x sqrt(x^2 - 5))/(3 root(3)((x^2 + 3)^2))

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