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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 14

Ache a derivada da função dada.

f (y) = sqrt(1 + c o s s e c^2 y)

Passo 1

A questão pede a derivada da função dada. Como trata-se de um problema de aplicação de regras de derivação, não vamos nos importar muito com o domínio de f e f ' , vamos só calcular a derivada.

Reescrevendo a função, temos que

f (y) = (1 + c o s s e c^2 y)^(1 // 2)

Usando a regra da cadeia,

f^' (y) = (1)/(2) (1 + c o s s e c^2 y)^(- 1 // 2) * (1 + c o s s e c^2 y)^'

Passo 2

Vamos calcular (1 + c o s s e c^2 y)^' :

(1 + c o s s e c^2 y)^' = 2 c o s s e c y * ( c o s s e c y ) '

Como (c o s s e c y)^' = - c o s s e c y c o t g y , temos que

(1 + c o s s e c^2 y)^' = - 2 c o s s e c^2 y c o t g y

Desta forma,

f^' (y) = - (c o s s e c^2 y c o t g y)/((1 + c o s s e c^2 y)^(1 // 2))

Resposta

f^' (y) = - (c o s s e c^2 y c o t g y)/((1 + c o s s e c^2 y)^(1 // 2))

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