Ache uma equação da reta tangente à curva y = (7x - 6)^(-1/3) que seja perpendicular à reta 12x - 7y + 2 = 0 .

Passo 1

A questão pede para encontrarmos a equação da reta tangente a uma curva y = f ( x ) mas não especifica em que ponto deve ocorrer a tangência. Todavia, ela fornece uma informação extra muito importante: a reta que queremos deve ser perpendicular à reta 12 x - 7 y + 2 = 0 .

Isolando y nessa reta, temos que

y = 12 x + 2 7

Assim, o coeficiente angular dessa reta é 12 / 7 . Como as retas devem ser perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares deve ser - 1 , assim:

m ⋅ 12 7 = - 1 ,

onde m é o coeficiente angular da reta que queremos. Temos então que

m = - 7 12

Como a equação de uma reta que passa por x 0 , y 0 com inclinação m é dada por

y - y 0 = m   x - x 0 ,

nos falta encontrar o ponto de tangência ( x 0 , y 0 ) .

Passo 2

Sabemos que m = f ' ( x 0 ) . Então vamos calcular f ' ( x ) :

f ' x = - 1 3 7 x - 6 - 4 3 ⋅ 7 x - 6 ' = - 7 3   7 x - 6 4 / 3

Assim,

m = - 7 12 = - 7 3   7 x 0 - 6 4 / 3

Desta forma, fica claro que

3   7 x 0 - 6 4 / 3 = 12 ⇒ 7 x 0 - 6 4 / 3 = 4 ⇒ 7 x 0 - 6 = 4 3 4

Portanto,

7 x 0 - 6 = 2 6 1 4 = 2 ⋅ 2 2 4 = 2 2

Assim,

x 0 = 2 2 + 6 7

Para acharmos y 0 , basta fazer y 0 = f ( x 0 ) :

y 0 = 7 x 0 - 6 - 1 3 = 2 3 2 - 1 3 = 2 - 1 2 = 1 2 = 2 2

Passo 3

Assim, a equação da reta será

y - 2 2 = - 7 12   x - 2 2 + 6 7

Por simplicidade, vamos deixar a resposta assim!

Resposta

y - 2 2 = - 7 12   x - 2 2 + 6 7

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