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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 31

Calcule a derivada indicada.

D_x ((sqrt(x - 1))/(root(3)(x + 1)))

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. O primeiro passo é aplicar a regra do quociente (eu sei que é chato e trabalhoso, mas agora não tem como fugir...):

D_x ((sqrt(x - 1))/(root(3)(x + 1))) = ((sqrt(x - 1))^' * root(3)(x + 1) - sqrt(x - 1) * (root(3)(x + 1))^')/((root(3)(x + 1))^2)

Agora só precisamos calcular as derivadas restantes.

Passo 2

Vamos fazer primeiro (sqrt(x - 1))^' :

(sqrt(x - 1))^' = ((x - 1)^((1)/(2)))^' = (1)/(2) (x - 1)^(- (1)/(2)) ( x - 1 ) ' = (1)/(2 sqrt(x - 1))

Analogamente,

(root(3)(x + 1))^' = ((x + 1)^((1)/(3)))^' = (1)/(3) (x + 1)^(- 2 // 3) (x + 1)^' = (1)/(3 root(3)((x + 1)^2))

Passo 3

Substituindo de volta na expressão encontrada no passo 1:

D_x ((sqrt(x - 1))/(root(3)(x + 1))) = ((root(3)(x + 1))/(2 sqrt(x - 1)) - (sqrt(x - 1))/(3 root(3)((x + 1)^2)))/(root(3)((x + 1)^2))

Eu sei que você deve querer parar por aqui e de fato, você pode fazer isso, mas como um treino algébrico, vamos tentar simplificar um pouco essa expressão.

Vamos olhar para o numerador primeiro:

(root(3)(x + 1))/(2 sqrt(x - 1)) - (sqrt(x - 1))/(3 root(3)((x + 1)^2)) = (3 root(3)(x + 1) root(3)((x + 1)^2) - 2 sqrt(x - 1) sqrt(x - 1))/(6 sqrt(x - 1) root(3)((x + 1)^2)) = (3 (x + 1) - 2 ( x - 1 ))/(6 sqrt(x - 1) root(3)((x + 1)^2))

Assim,

(root(3)(x + 1))/(2 sqrt(x - 1)) - (sqrt(x - 1))/(3 root(3)((x + 1)^2)) = (x + 5)/(6 sqrt(x - 1) root(3)((x + 1)^2))

Desta forma,

D_x ((sqrt(x - 1))/(root(3)(x + 1))) = ((x + 5)/(6 sqrt(x - 1) root(3)((x + 1)^2)))/(root(3)((x + 1)^2)) = (x + 5)/(6 sqrt(x - 1) root(3)((x + 1)^4))

Resposta

D_x ((sqrt(x - 1))/(root(3)(x + 1))) = (x + 5)/(6 sqrt(x - 1) root(3)((x + 1)^4))

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