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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 9

Seja f   : R → R derivável até a 2 ª ordem e seja g dada por g x = f e 2 x . Verifique que

g ' ' x = 4 e 2 x f ' e 2 x + e 2 x f ' ' e 2 x

Passo 1

Derivamos g x em relação a x usando a regra da cadeia:

g ' x = f e 2 x '

g ' x = f ' e 2 x e 2 x '

Usamos mais uma vez a regra da cadeia para calcular e 2 x ' :

g ' x = f ' e 2 x e 2 x 2 x '

g ' x = f ' e 2 x e 2 x 2

g ' x = 2 e 2 x f ' e 2 x

Passo 2

Agora vamos derivar a expressão de g ' x em relação a x , para obter a derivada de 2 ª ordem:

g ' ' x = 2 e 2 x f ' e 2 x '

Veja que há um produto de duas funções de x , então primeiro aplicamos a regra do produto:

g ' ' x = 2 e 2 x ' f ' e 2 x + 2 e 2 x f ' e 2 x '

Aqui, utilizaremos a regra da cadeia para calcular 2 e 2 x ' e nos preocuparemos com o resto depois:

g ' ' x = 2 e 2 x 2 x ' f ' e 2 x + 2 e 2 x f ' e 2 x '

g ' ' x = 2 e 2 x 2 f ' e 2 x + 2 e 2 x f ' e 2 x '

g ' ' x = 4 e 2 x f ' e 2 x + 2 e 2 x f ' e 2 x '

Passo 3

Beleza! Só falta aplicar a regra da cadeia em f ' e 2 x ' para obter a expressão de g ' ' x completa:

g ' ' x = 4 e 2 x f ' e 2 x + 2 e 2 x f ' e 2 x '

g ' ' x = 4 e 2 x f ' e 2 x + 2 e 2 x f ' ' e 2 x e 2 x '

g ' ' x = 4 e 2 x f ' e 2 x + 2 e 2 x f ' ' e 2 x e 2 x 2 x '

g ' ' x = 4 e 2 x f ' e 2 x + 2 e 2 x f ' ' e 2 x e 2 x 2

g ' ' x = 4 e 2 x f ' e 2 x + 4 e 2 x 2 f ' ' e 2 x

g ' ' x = 4 e 2 x f ' e 2 x + e 2 x f ' ' e 2 x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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