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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.9 - Ex. 2

Seja y = (x^3)/(x + sqrt(x)) . Calcule.

(a) (d y)/(d x)

(b) |(d y)/(d x)|_x = 1

Passo 1

(a) Vamos usar a regra do quociente para calcular a derivada:

(d y)/(d x) = ((x^3)/(x + x^(1 // 2)))^'

(d y)/(d x) = ((x^3)^' (x + x^(1 // 2)) - x^3 (x + x^(1 // 2))^')/((x + x^(1 // 2))^2)

(d y)/(d x) = (3 x^2 (x + x^(1 // 2)) - x^3 (1 + (1)/(2) x^(- 1 // 2)))/((x + x^(1 // 2))^2)

(d y)/(d x) = (3 x^3 + 3 x^(5 // 2) - x^3 - (1)/(2) x^(5 // 2))/((x + x^(1 // 2))^2)

(d y)/(d x) = (2 x^3 + (5)/(2) x^(5 // 2))/((x + x^(1 // 2))^2)

(d y)/(d x) = (2 x^3 + (5)/(2) x^2 sqrt(x))/((x + sqrt(x))^2)

Passo 2

(b) Agora, vamos avaliar a derivada em x = 1 :

|(d y)/(d x)|_x = 1 = (2 . 1^3 + (5)/(2) 1^2 sqrt(1))/((1 + sqrt(1))^2)

|(d y)/(d x)|_x = 1 = (2 + (5)/(2))/(2^2)

|(d y)/(d x)|_x = 1 = (9)/(8)

Resposta

(a) (d y)/(d x) = (2 x^3 + (5)/(2) x^2 sqrt(x))/((x + sqrt(x))^2)

(b) (9)/(8)

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