Seja y = x^3 / (x + raiz(x)) . Calcule.

(a) dy / dx

(b) (dy/dx)|x=1

Passo 1

(a) Vamos usar a regra do quociente para calcular a derivada:

d y d x = x 3 x + x 1 / 2 '

d y d x = x 3 ' x + x 1 / 2 - x 3 x + x 1 / 2 ' x + x 1 / 2 2

d y d x = 3 x 2 x + x 1 / 2 - x 3 1 + 1 2 x - 1 / 2 x + x 1 / 2 2

d y d x = 3 x 3 + 3 x 5 / 2 - x 3 - 1 2 x 5 / 2 x + x 1 / 2 2

d y d x = 2 x 3 + 5 2 x 5 / 2 x + x 1 / 2 2

d y d x = 2 x 3 + 5 2 x 2 x x + x 2

Passo 2

(b) Agora, vamos avaliar a derivada em x = 1 :

d y d x x = 1 = 2   .   1 3 + 5 2 1 2 1 1 + 1 2

d y d x x = 1 = 2 + 5 2 2 2

d y d x x = 1 = 9 8

Resposta

(a) d y d x = 2 x 3 + 5 2 x 2 x x + x 2

(b) 9 8

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