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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 28

Calcule a derivada indicada.

(d)/(d z) (s e n root(3)(z) cos root(3)(z))

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. Vamos aplicar a regra do produto primeiro:

(d)/(d z) (s e n root(3)(z) cos root(3)(z)) = (s e n root(3)(z))^' * cos root(3)(z) + s e n root(3)(z) * (cos root(3)(z))^'

Agora basta calcular as derivadas restantes.

Passo 2

Note que usando a regra da cadeia, as derivadas serão similares:

(s e n root(3)(z))^' = cos root(3)(z) * (root(3)(z))^'

(cos root(3)(z))^' = - s e n root(3)(z) * (root(3)(z))^'

Assim, substituindo na expressão do passo 1:

(d)/(d z) (s e n root(3)(z) cos root(3)(z)) = (cos^2 root(3)(z) - s e n^2 root(3)(z)) * (root(3)(z))^'

Passo 3

Vamos calcular (root(3)(z))^' :

(root(3)(z))^' = (z^((1)/(3)))^' = (1)/(3) z^((1)/(3) - 1) = (1)/(3) z^(- (2)/(3)) = (1)/(3 root(3)(z^2))

Portanto,

(d)/(d z) (s e n root(3)(z) cos root(3)(z)) = (cos^2 root(3)(z) - s e n^2 root(3)(z))/(3 root(3)(z^2))

Resposta

(d)/(d z) (s e n root(3)(z) cos root(3)(z)) = (cos^2 root(3)(z) - s e n^2 root(3)(z))/(3 root(3)(z^2))

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