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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 23

Ache a derivada da função dada.

f (x) = (5 - x^2)^(1 // 2) (x^3 + 1)^(1 // 4)

Passo 1

Devemos encontrar a derivada da função. Como se trata de um exercício para treinar técnicas de derivação, não vamos nos preocupar com o domínio da função e de sua derivada.

Primeiro, apliquemos a regra do produto:

f^' (x) = ((5 - x^2)^((1)/(2)))^' * (x^3 + 1)^((1)/(4)) + (5 - x^2)^((1)/(2)) * ((x^3 + 1)^((1)/(4)))^'

Agora só precisamos achar essas derivadas que resolvemos o problema!

Passo 2

Para achar ((5 - x^2)^((1)/(2)))^' , vamos aplicar a regra da cadeia:

((5 - x^2)^((1)/(2)))^' = (1)/(2) (5 - x^2)^((1)/(2) - 1) * (5 - x^2)^' = - (2 x)/(2) (5 - x^2)^(- (1)/(2)) = - (x)/((5 - x^2)^(1 // 2))

Para ((x^3 + 1)^((1)/(4)))^' , fazemos a mesma coisa:

((x^3 + 1)^((1)/(4)))^' = (1)/(4) (x^3 + 1)^((1)/(4) - 1) * (x^3 + 1)^' = (3 x^2)/(4) (x^3 + 1)^(- (3)/(4)) = (3 x^2)/(4 (x^3 + 1)^(3 // 4))

Passo 3

Assim, para achar f ' basta substituir na expressão encontrada no passo 1:

f^' (x) = - (x (x^3 + 1)^((1)/(4)))/((5 - x^2)^((1)/(2))) + (3 x^2 (5 - x^2)^((1)/(2)))/(4 (x^3 + 1)^(3 // 4))

Resposta

f^' (x) = - (x (x^3 + 1)^((1)/(4)))/((5 - x^2)^((1)/(2))) + (3 x^2 (5 - x^2)^((1)/(2)))/(4 (x^3 + 1)^(3 // 4))

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