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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 12

Determine alpha de modo que y = e^(alpha x) verifique a equação (d^2 y)/(d x^2) - 4 y = 0 .

Passo 1

Derivamos y em relação a x utilizando a regra da cadeia, considerando alpha como uma constante:

(d y)/(d x) = (e^(alpha x))^'

(d y)/(d x) = (e^(alpha x)) (alpha x)^'

(d y)/(d x) = (e^(alpha x)) (alpha)

(d y)/(d x) = alpha e^(alpha x)

Passo 2

Agora derivamos novamente, para determinar a derivada de 2 ª ordem:

(d^2 y)/(d x^2) = (d)/(d x) ((d y)/(d x))

(d^2 y)/(d x^2) = (alpha e^(alpha x))^'

Mais uma vez, usamos a regra da cadeia:

(d^2 y)/(d x^2) = (alpha e^(alpha x)) (alpha x)^'

(d^2 y)/(d x^2) = (alpha e^(alpha x)) (alpha)

(d^2 y)/(d x^2) = alpha^2 e^(alpha x)

Passo 3

Só nos resta substituir y e sua derivada de 2 ª ordem na equação do enunciado, a fim de achar quais valores de alpha a satisfazem:

(d^2 y)/(d x^2) - 4 y = 0

alpha^2 e^(alpha x) - 4 (e^(alpha x)) = 0

e^(alpha x) (alpha^2 - 4) = 0

Como a exponencial e^(alpha x) é sempre diferente de zero, então:

alpha^2 - 4 = 0

alpha = +- 2

Resposta

alpha = +- 2

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