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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.9 - Ex. 8d

Calcule a derivada segunda.

y = t ln t

Passo 1

Vamos analisar a função, aqui vamos usar a regra do produto:

(h (t) g (t))^' = h ' (t) g (t) + g ' (t) h (t)

Temos que:

h (t) = t

e

g (t) = ln t

Assim:

y^' = (d y)/(d t) = (d)/(d t) (t ln t) = h ' (t) g (t) + g ' (t) h (t) = (t)^' * ln t + (ln t)^' * t

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da função logarítmica natural:

(t^n)^' = n t^(n - 1)

(c)^' = 0

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

Vamos calcular h ' ( t ) , usando a regra do polinômio:

h ' ( t ) = (t)^' = t^(1 - 1) = t^0 = 1

Com g ' ( t ) vamos usar a regra e da função logarítmica natural:

g^' (t) = (ln t)^' = (1)/(t) * (t)^' = (1)/(t) * t^(1 - 1) = (1)/(t) * t^0 = (1)/(t) * 1 = (1)/(t)

Passo 3

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

y^' = h ' (t) g (t) + g ' (t) h (t) = (t)^' * ln t + (ln t)^' * t = 1 * ln t + (1)/(t) * t = ln t + 1

Passo 4

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regra, derivando agora y^' :

y^(' ') = (y^')^' = (d^2 y)/(d t^2) = (d)/(d t) ((d y)/(d t)) = (d)/(d t) (ln t + 1)^' = (1)/(t) + 0 = (1)/(t)

Resposta

y^(' ') = (d^2 y)/(d t^2) = (1)/(t)

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