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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 17

Nos Exercícios 1-18, determine d y // d x .

17. f ( x ) = x^3 sen x cos x

Passo 1

Este é um exercício mais avançadinho. Se você chegou até aqui é porque já avançou pelos passos mais básicos. Vou te mostrar que mesmo com funções mais elaboradas usamos para resolver as mesmas técnicas. Antes de resolver, devo dizer que podemos resolver por 3 meios diferentes. Vou te mostra-los e você escolhe o que você acha mais atrativo.

Passo 2

Primeiro se queremos derivar uma função que são várias se multiplicando. Temos que usar a regra do Produto. Olha só como ela vai funcionar com 3 funções juntas

(d)/(d x) [f (x)] = (d)/(d x) (x^3 * sen x cos x)

Regra do produto:

(d)/(d x) (u * v . w) = (d u)/(d x) v w + u (d v)/(d x) w + u v (d w)/(d x)

Essa é a forma mais geral da regra da cadeia, e você vai fazendo agora para quantas forem as funções que se multipliquem. Vamos meter a mão na massa agora

(d)/(d x) [f (x)] = (sen x cos x) (d)/(d x) (x^3) + (x^3 c o s x) (d)/(d x) (sen x) + x^3 s e n x (d)/(d x) ( c o s x )

Só lembrando que Derivada do ( sen x ) é ( cos x ) . E a derivada do ( cos x ) é ( - sen x ) :

= 3 x^2 sen x cos x + x^3 ( cos x ) (cos x) + x^3 ( sen x ) (- sen x)

= 3 x^2 sen x cos x + x^3 cos^2 x - x^3 sen^2 x

Passo 3

Outra maneira de fazermos isso é enxergar funções em pares, assim :

(d)/(d x) [f (x)] = (d)/(d x) (x^3 * sen x cos x)

Regra do produto:

(d)/(d x) (u * v) = v (d u)/(d x) + u (d v)/(d x)

Onde u = x^3 e v = sen x cos x :

(d)/(d x) [f (x)] = ( sen x cos x ) (d)/(d x) (x^3) + ( x^3 ) (d)/(d x) ( sen x cos x )

(d)/(d x) [f (x)] = ( sen x cos x ) (3 x^2) + ( x^3 ) (d)/(d x) ( sen x cos x )

Vamos usar a regra do produto novamente, para resolver (d)/(d x) ( sen x cos x ) . Nesse caso, u = sen x e v = cos x :

(d)/(d x) [f (x)] = ( sen x cos x ) (3 x^2) + ( x^3 ) [( cos x ) (d)/(d x) (sen x) + ( sen x ) (d)/(d x) (cos x)]

(d)/(d x) [f (x)] = 3 x^2 sen x cos x + x^3 [( cos x ) (cos x) + ( sen x ) (- sen x)]

(d)/(d x) [f (x)] = 3 x^2 sen x cos x + x^3 cos^2 x - x^3 sen^2 x

Viu? Achamos o mesmo resultado.

Passo 4

O terceiro é o que eu mais gosto, porque economiza nosso tempo. Isso requer um pouco mais de sagacidade e que você esteja já craque com algumas identidades trigonométricas. Temos uma função

x^3 sen x cos x

Observa a parte

s e n x c o s x

Isso não te parece um pouco familiar? Talvez alguma coisa que tenha visto nas aulas de pre-calculo, há muuuito tempo, certo? Temos que:

s e n 2 x = 2 s e n x cos x

Então

s e n x c o s x = (s e n 2 x)/(2)

Olha só que ótimo! Transformamos dois termos num bem mais tranquilo. Então nossa função agora é :

f (x) = x^3 (s e n 2 x)/(2)

Vamos derivar !

(d)/(d x) f (x) = 3 x^2 (s e n 2 x)/(2) + x^3 c o s 2 x . (2)/(2) -> 3 x^2 (s e n 2 x)/(2) + x^3 c o s 2 x

Pronto achamos nosso resultado. Talvez você se pergunte, “mas perai , tínhamos termos com seno e cosseno ao quadrado ????!!!!” Bem, o pulo do gato esta aqui.

cos 2 x = c o s^2 x - s e n^2 x

Então nossa resolução ficou certinha. Esse é um passo um pouco mais elegante. Vai demandar apenas um pouquinho de prática, mas é igualmente certo. Você pode escolher o que lhe for mais fácil. Quero te mostrar suas opções ao resolver, quanto mais truques na manga melhor, certo? Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução 😊

Resposta

(d)/(d x) [f (x)] = 3 x^2 sen x cos x + x^3 cos^2 x - x^3 sen^2 x

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