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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 21

Nos Exercícios 19-22, determine d s // d t .

21. s = (1 + cossec t)/(1 - cossec t)

Passo 1

(d s)/(d t) = (d)/(d t) ((1 + cossec t)/(1 - cossec t))

Aqui vamos precisar usar a Regra do quociente:

(d)/(d x) ((u)/(v)) = (v (d u)/(d x) - u (d v)/(d x))/(v^2)

Onde u = ( 1 + cossec t ) e v = (1 - cossec t) . A função vai ficar:

(d s)/(d t) = ((1 - cossec t) (d)/(d t) (1 + cossec t) - (1 + cossec t) (d)/(d t) (1 - cossec t))/((1 - cossec t)^2)

Devemos aplicar a regra da soma para as duas derivadas que temos na expressão. Como a derivada de 1 é 0 , então

(d)/(d t) (1 + cossec t) = (d)/(d t) (cossec t)

e

(d)/(d t) (1 - cossec t) = (d)/(d t) (- cossec t)

Logo nossa função fica:

(d s)/(d t) = ((1 - cossec t) (d)/(d t) (cossec t) - (1 + cossec t) (d)/(d t) (- cossec t))/((1 - cossec t)^2)

(d s)/(d t) = ((1 - cossec t) (d)/(d t) (cossec t) + (1 + cossec t) (d)/(d t) (cossec t))/((1 - cossec t)^2)

Passo 2

A derivada de (cossec t) é igual a (- cossec t cotg t) , então:

(d s)/(d t) = ((1 - cossec t) (- cossec t cotg t) + (1 + cossec t) (- cossec t cotg t))/((1 - cossec t)^2)

Fazendo as multiplicações:

(d s)/(d t) = (- cossec t cotg t + cossec^2 t cotg t - cossec t cotg t - cossec^2 t cotg t)/((1 - cossec t)^2)

(d s)/(d t) = - (2 cossec t cotg t)/((1 - cossec t)^2)

Resposta

(d s)/(d t) = - (2 cossec t cotg t)/((1 - cossec t)^2)

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