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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 55a

Calcule ∫ x - 1 2 x d x por dois métodos: (a) expandindo x - 1 2 e multiplicando o resultado por x - 1 / 2 .

Passo 1

A expansão binomial é reponsável por nos dar o formato expandido dos produtos notáveis da forma ( a + b ) n . A forma geral dele é dada pela seguinte expressão:

( a + b ) n = n 0 a n b 0 + n 1 a n - 1 b 1 + n 2 a n - 2 b 2 + … + n n - 1 a 1 b n - 1 + n n a 0 b n ,

Onde n n é um elemento do triângulo de pascal.

Na nossa questão, temos um cubo da soma para ser expandido. Portanto, vamos expandi-lo.

x - 1 2 = 2 0 x 2 ( - 1 ) 0 + 2 1 x 1 ( - 1 ) 1 + 2 2 x 0 ( - 1 ) 2 x - 1 2 = x - 1.2 x + 1 ( x - 1 ) 2 = x - 2 x + 1

Passo 2

Vamos agora substituir o resultado encontrado no passo 1 na integral para resolvê-la.

∫ x - 2 x + 1 x - 1 / 2 d x = ∫ x 1 / 2 - 2 x 0 + x - 1 / 2 d x = ∫ x 1 / 2 - 2 + x - 1 / 2 d x A integral de uma soma pode ser escrito como a soma de integrais. Logo,

∫ x 1 / 2 - 2 + x - 1 / 2 d x = ∫ x 1 / 2 d x - ∫ 2 d x + ∫ x - 1 / 2 d x

Passo 3

Feita a separação das integrais, vamos resolvê-las.

∫ x 1 / 2 d x - ∫ 2 d x + ∫ x - 1 2 d x = x 3 2 3 2 - 2 x + x 1 / 2 1 / 2 + C = 2 3 x 3 / 2 - 2 x + 2 x 1 / 2 + C

Resposta

O resultado final é:

∫ x - 1 2 x d x =   2 3 x 3 / 2 - 2 x + 2 x 1 / 2 + C

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