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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 46

Efetue a antidiferenciação int (2 t^2 + 1)^(1 // 3) t^3 d t

Passo 1

Essa integral pode ser resolvida utilizando a técnica da substituição de variável na integral. A primeira coisa que devemos fazer é definir quem deverá ser substituído. Nessa questão, quem deverá ser substituído será 2 t^2 + 1 , sendo chamado de u. Assim:

u = 2 t^2 + 1 Vamos reorganizar a equação e aplicar a derivada dos dois lados da equação:

2 t^2 = u - 1 t^2 = ((u - 1))/(2) (1) 2 t d t = (d u)/(2) t d t = (d u)/(4) (2)

Passo 2

Vamos analisar a integral para efetarmos a substituição dos termos. Da equação 2 temos do lado esquerdo a expressão t d t , que pode ser facilmente obtida através de uma manipulação matemática na expressão da integral, abrindo o t ³ em t^2 . t

int (2 t^2 + 1)^(1 // 3) t^3 d t = int (2 t^2 + 1)^(1 // 3) t^2 t d t

Feito isso, podemos substituir as variáveis.

int (u^((1)/(3)) t^2 d u)/(4)

O termo t ² pode ser obtido através da manipulação da substituição da variável u. Nesse caso, ela já foi calculada no Passo 1, na quação (1). Fazendo a substituição na integral temos:

int (u^((1)/(3)) (u - 1))/(2.4) d u

Passo 3

Feita a substituição resta apenas resolver a integral.

(int ( u^((4)/(3)) - u^((1)/(3)) ))/(8) d u (1)/(8) int ( u^((4)/(3)) - u^((1)/(3)) ) d u (1)/(8) [(u^((7)/(3)))/((7)/(3)) - (u^((4)/(3)))/((4)/(3))] (1)/(8) [ (3)/(7) (2 t^2 + 1)^((7)/(3)) - (3)/(4) (2 t^2 + 1)^((4)/(3)) + C

Resposta

O resultado final é:

int (2 t^2 + 1)^(1 // 3) t^3 d t = (1)/(8) [ (3)/(7) (2 t^2 + 1)^((7)/(3)) - (3)/(4) (2 t^2 + 1)^((4)/(3)) + C

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