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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 53a

Calcule ∫ ( 2 x + 1 ) ³ d x por dois métodos: (a) expandindo ( 2 x + 1 ) ³ pelo teorema do binômio

Passo 1

A expansão binomial é reponsável por nos dar o formato expandido dos produtos notáveis da forma ( a + b ) n . A forma geral dele é dada pela seguinte expressão:

( a + b ) n = n 0 a n b 0 + n 1 a n - 1 b 1 + n 2 a n - 2 b 2 + … + n n - 1 a 1 b n - 1 + n n a 0 b n ,

Onde n n é um elemento do triângulo de pascal.

Na nossa questão, temos um cubo da soma para ser expandido. Portanto, vamos expandi-lo.

2 x + 1 3 = 3 0 2 x 3 1 0 + 3 1 2 x 2 1 1 + 3 2 2 x 1 1 2 + 3 3 2 x 0 1 3 2 x + 1 3 = 8 x 3 + 3.4 x 2 + 3.2 x + 1 2 x + 1 3 = 8 x 3 + 12 x 2 + 6 x + 1

Passo 2

Vamos agora substituir o resultado encontrado no passo 1 na integral para resolvê-la.

∫ 8 x 3 + 12 x 2 + 6 x + 1 d x A integral de uma soma pode ser escrito como a soma de integrais. Logo,

∫ 8 x 3 + 12 x 2 + 6 x + 1 d x = ∫ 8 x ³ d x + ∫ 12 x 2 d x + ∫ 6 x d x + ∫ 1 d x

Passo 3

Feita a separação das integrais, vamos resolvê-las.

∫ 8 x 3 d x + ∫ 12 x 2 d x + ∫ 6 x d x + ∫ 1 d x = 8 x 4 4 + 12 x 3 3 + 6 x 2 2 + x + C = 2 x 4 + 4 x 3 + 3 x 2 + x + C

Resposta

O resultado final é:

∫ ( 2 x + 1 ) ³ d x =   2 x 4 + 4 x 3 + 3 x 2 + x + C

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