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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 48

Efetue a antidiferenciação int (t + (1)/(t))^((3)/(2)) ( t^2 - 1 ) // t^2 d t

Passo 1

Essa integral pode ser resolvida utilizando a técnica da substituição de variável na integral. A primeira coisa que devemos fazer é definir quem deverá ser substituído. Nessa questão, quem deverá ser substituído será (t + (1)/(t)) , sendo chamado de u. Assim:

u = t + (1)/(t) Vamos aplicar a derivada dos dois lados da expressão acima:

d u = ( t^2 - 1 ) // t ² d (1)

Passo 2

Vamos analisar a integral para efetarmos a substituição dos termos. Da equação 1 temos do lado direito a expressão ( t^2 - 1 ) // t^2 , que já aparece explícita na nossa integral! Portanto, só nos resta substituir a variável.

int u^(3 // 2) d u

Passo 3

Feita a substituição resta apenas resolver a integral.

int u^((3)/(2)) d u (u^((5)/(2)))/((5)/(2)) = (2)/(5) (t + (1)/(t))^(5 // 2) + C

Resposta

O resultado final é:

int (t + (1)/(t))^((3)/(2)) ( t^2 - 1 ) // t^2 d t = (2)/(5) (t + (1)/(t))^(5 // 2) + C

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