Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 84
A taxa de crescimento de uma população de peixes foi modelada pela equação
Onde é medido em anos e em quilogramas por ano. Se a biomassa era de no ano , qual é a biomassa prevista para o ano de ?
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema foi dada uma função que modela a taxa de crescimento de uma população de peixes em função dos anos.
A partir daí, dito que em a biomassa de peixes era de , queremos saber quanto de biomassa vamos ter em .
Tem ideia de como fazemos isso?
Se expressa a taxa de crescimento de biomassa de peixes, sua primitiva expressa a quantidade de biomassa, correto?
Então se a gente quer encontrar a quantidade de biomassa em , temos que integrar em relação a quantidade de anos que passaram, ou seja:
Porém, não sabemos integrar essa função na forma que ela está. Então para facilitar nossos cálculos, podemos aplicar a regra da substituição:
Esse método consiste em substituir parte da função por uma variavel e fazer uma mudança de variáveis na integral seguindo um passa-a-passo.
- Substituir parte da função por .
- Derivar em relação a para obter e isolar em um lado da igualdade.
- Substituir e na integral.
- Substituir os limites de integração de em para obter os limites de integração em .
- Calcular a integral!
Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então temos que fazer várias questões pra ficarmos craques!
Sacou? Bora começar!
Passo 2
Nossa função de integração é dada por:
Então podemos chamar de .
Assim, derivando pela regra da cadeia e isolando em um lado da igualdade:
Temos que substituir também os limites de integração:
Quando .
Quando .
Com isso, substituindo , e os limites de integração na nossa integral, vamos obter:
Simplificando ...
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos aplicar a regra da potência:
No nosso caso, fica:
Aplicando os limites de integração:
Voltando para nossa integral, temos:
Mas calma! Foi dito que inicialmente em , tínhamos de biomassa e o que calculamos, foi apenas o crescimento, então o total de biomassa que temos em é:
E fim! O que achou? Responde Aí!