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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 56a

Calcule int ( sqrt(x - 1) ) x ² d x por dois métodos: (a) tomando u = x - 1 .

Passo 1

Essa questão pode ser resolvido através da substituição de variável. Já nos foi dado a substituição a ser feita ( u = x - 1 ) . No entanto, precisamos saber como vamos substituir o x ² dentro da integral. Para isso, vamos manipular a expressão dada inicialmente.

u = x - 1 x = u + 1 (1)

d x = d u

Com a expressão (1) podemos substituir facilmente na integral e, a partir daí, calcular a integral

Passo 2

Vamos agora substituir as variáveis na integral.

int (sqrt(x - 1)) x^2 d x = int u^((1)/(2)) (u + 1)^2 d u = int u^((1)/(2)) (u^2 + 2 u + 1) d u int (sqrt(x - 1)) x^2 d x = int ( u^(5 // 2) + 2 u^(3 // 2) + u^(1 // 2) ) d u

A integral de uma soma pode ser escrito como a soma de integrais. Logo,

int ( u^(5 // 2) + 2 u^(3 // 2) + u^(1 // 2) ) d u = int u^(5 // 2) d u + int 2 u^(3 // 2) d u + int u^(1 // 2) d u

Passo 3

Feita a separação das integrais, vamos resolvê-las.

int u^((5)/(2)) d u + int 2 u^((3)/(2)) d u + int u^((1)/(2)) d u = (u^((7)/(2)))/((7)/(2)) + (2 u^((5)/(2)))/((5)/(2)) + (u^((3)/(2)))/((3)/(2)) = (2)/(7) u^((7)/(2)) + (4)/(5) u^((5)/(2)) + (2)/(3) u^((3)/(2)) + C = (2)/(7) ( x - 1 )^((7)/(2)) + (4)/(5) ( x - 1 )^((5)/(2)) + (2)/(3) ( x - 1 )^((3)/(2)) + C

Resposta

O resultado final é:

int (sqrt(x - 1)) x^2 d x = (2)/(7) ( x - 1 )^((7)/(2)) + (4)/(5) ( x - 1 )^((5)/(2)) + (2)/(3) ( x - 1 )^((3)/(2)) + C

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