Calcule ∫ ( x - 1 ) x ² d x por dois métodos: (a) tomando u = x - 1 .

Passo 1

Essa questão pode ser resolvido através da substituição de variável. Já nos foi dado a substituição a ser feita ( u = x - 1 ) . No entanto, precisamos saber como vamos substituir o x ² dentro da integral. Para isso, vamos manipular a expressão dada inicialmente.

u = x - 1 x = u + 1 (1)

d x = d u

Com a expressão (1) podemos substituir facilmente na integral e, a partir daí, calcular a integral

Passo 2

Vamos agora substituir as variáveis na integral.

∫ x - 1 x 2 d x = ∫ u 1 2 u + 1 2 d u = ∫ u 1 2 u 2 + 2 u + 1 d u ∫ x - 1 x 2 d x =   ∫ ( u 5 / 2 + 2 u 3 / 2 + u 1 / 2 ) d u

A integral de uma soma pode ser escrito como a soma de integrais. Logo,

∫ ( u 5 / 2 + 2 u 3 / 2 + u 1 / 2 ) d u = ∫ u 5 / 2 d u + ∫ 2 u 3 / 2 d u + ∫ u 1 / 2 d u

Passo 3

Feita a separação das integrais, vamos resolvê-las.

∫ u 5 2 d u + ∫ 2 u 3 2 d u + ∫ u 1 2 d u = u 7 2 7 2 + 2 u 5 2 5 2 + u 3 2 3 2 = 2 7 u 7 2 + 4 5 u 5 2 + 2 3 u 3 2 + C = 2 7 ( x - 1 ) 7 2 + 4 5 ( x - 1 ) 5 2 + 2 3 ( x - 1 ) 3 2 + C

Resposta

O resultado final é:

∫ x - 1 x 2 d x =   2 7 ( x - 1 ) 7 2 + 4 5 ( x - 1 ) 5 2 + 2 3 ( x - 1 ) 3 2 + C

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