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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 24

Calcule a integral indefinida.

int x * sqrt(x + 2) d x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom.. queremos calcular a seguinte integral indefinida:

int x * sqrt(x + 2) d x

Para isso, vamos usar a Regra da Substituição.

Mas que regra é essa?? Bom... trata-se da substituição de uma variável por uma expressão mais simples, tornando a integral mais fácil de resolver.

Quer saber como?? Então bora junto!! 😉

Passo 2

Colocando as mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = x + 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

(d u)/(d x) = 2 :.

d u = 2 d x

Além disso, x = u - 2 e podemos reescrever nossa integral como sendo

int (u - 2) * sqrt(u) d u = int u^(((3)/(2))) - 2 u^(((1)/(2))) d u

Bem mais agradável e imediata, não? Agora vamos resolver ela!!

Passo 3

Agora ficou bem mais simples integrar e mais imediato também, então, teremos

int u^(((3)/(2))) - 2 u^(((1)/(2))) d u = (u^(((3)/(2)) + 1))/(((3)/(2)) + 1) - (2 u^(((1)/(2)) + 1))/(((1)/(2)) + 1) + C :.

int u^(((3)/(2))) - u^(((1)/(2))) d u = (2)/(5) * u^(((5)/(2))) - (4)/(3) * u^(((3)/(2))) + C

Por fim, retornando para a variável x de origem vamos obter:

(2)/(5) * u^(((5)/(2))) - (4)/(3) * u^(((3)/(2))) + C = (2)/(5) * ( x + 2 )^(((5)/(2))) - (4)/(3) * ( x + 2 )^(((3)/(2))) + C

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

(2)/(5) * ( x + 2 )^(((5)/(2))) - (4)/(3) * ( x + 2 )^(((3)/(2))) + C

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