Calcule a integral indefinida.

∫ x ⋅ x + 2 d x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom.. queremos calcular a seguinte integral indefinida:

∫ x ⋅ x + 2 d x

Para isso, vamos usar a Regra da Substituição.

Mas que regra é essa?? Bom... trata-se da substituição de uma variável por uma expressão mais simples, tornando a integral mais fácil de resolver.

Quer saber como?? Então bora junto!! 😉

Passo 2

Colocando as mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = x + 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u d x = 2 ∴

d u = 2 d x

Além disso, x = u - 2 e podemos reescrever nossa integral como sendo

∫ u - 2 ⋅ u   d u = ∫ u 3 2 - 2 u 1 2   d u

Bem mais agradável e imediata, não? Agora vamos resolver ela!!

Passo 3

Agora ficou bem mais simples integrar e mais imediato também, então, teremos

∫ u 3 2 - 2 u 1 2   d u = u 3 2 + 1 3 2 + 1 - 2 u 1 2 + 1 1 2 + 1 + C ∴

∫ u 3 2 - u 1 2   d u = 2 5 ⋅ u 5 2 - 4 3 ⋅ u 3 2 + C

Por fim, retornando para a variável x de origem vamos obter:

2 5 ⋅ u 5 2 - 4 3 ⋅ u 3 2 + C = 2 5 ⋅ ( x + 2 ) 5 2 - 4 3 ⋅ ( x + 2 ) 3 2 + C

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

2 5 ⋅ ( x + 2 ) 5 2 - 4 3 ⋅ ( x + 2 ) 3 2 + C

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