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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 3

Expresse a integral indefinida em termos de uma função hiperbólica inversa e como um logaritmo natural.

∫ x x 4 - 1   d x

Passo 1

A questão pede para expressarmos a integral em termos de funções hiperbólicas. Note que não é pedido para calcularmos a integral, devemos apenas expressar o resultado em termos das funções hiperbólicas. Para isso, você precisa dar uma olhada no teorema 9.8.4.

Neste caso, temos

I = ∫ x x 4 - 1   d x

Antes de procurarmos uma fórmula no teorema 9.8.4, vamos brincar um pouco com a integral. Se chamarmos u = x 2 , temos que d u = 2 x   d x , de modo que

I = 1 2 ∫ 1 u 2 - 1   d u

Passo 2

Mas a integral que restou é exatamente uma das integrais dadas no teorema 9.8.4:

∫ 1 u 2 - a 2   d u = cosh - 1 ⁡ u a + C = ln ⁡ u + u 2 - a 2 + C

Assim, com a = 1 , temos que

I = 1 2 cosh - 1 ⁡ u + C = 1 2 ln ⁡ u + u 2 - 1 + C

Por fim, lembrando que u = x 2 :

I = 1 2 cosh - 1 ⁡ x 2 + C = 1 2 ln ⁡ x 2 + x 4 - 1 + C

Resposta

1 2 cosh - 1 ⁡ x 2 + C = 1 2 ln ⁡ x 2 + x 4 - 1 + C

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