Determine dy/dx :

y = ∫ 0 s e n - 1   ( x ) d t 1 - 2 t 2

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então F x = ∫ a x f t d t é contínua em [ a , b ] e derivável em a , b e sua derivada f ( x ) é dada por:

F ' x = d d x   ∫ a x f t d t = f ( x )

Contudo, neste caso, o limite superior de integração não é x , mas s e n - 1 ( x ) . Isso torna y uma composição de duas funções:

y = ∫ 0 u     d t 1 - 2 t 2                                 e                                               u = s e n - 1 ( x )

Observe que é como se estivéssemos aplicando a regra da substituição para os limites de integração.

Passo 2

Devemos, portanto, aplicar a regra da cadeia quando determinamarmos d y / d x .

d y d x = d y d u × d u d x

Assim, temos:

F ' x = d d x ∫ 0 u     d t 1 - 2 t 2   × d u d x = 1 1 - 2 u 2 × 1 1 - x 2 = 1 1 - x 2     1 - 2 s e n - 1 x 2

Resposta

1 1 - x 2     1 - 2 s e n - 1 x 2

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