Enunciado

Determine d y // d x :

y = int_0^(s e n^(- 1) ( x )) (d t)/(sqrt(1 - 2 t^2))

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então F (x) = int_a^x f (t) d t é contínua em [ a , b ] e derivável em (a , b) e sua derivada f ( x ) é dada por:

F ' (x) = (d)/(d x) int_a^x f (t) d t = f ( x )

Contudo, neste caso, o limite superior de integração não é x , mas s e n^(- 1) ( x ) . Isso torna y uma composição de duas funções:

y = int_0^u (d t)/(sqrt(1 - 2 t^2)) e u = s e n^(- 1) ( x )

Observe que é como se estivéssemos aplicando a regra da substituição para os limites de integração.

Passo 2

Devemos, portanto, aplicar a regra da cadeia quando determinamarmos d y // d x .

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) xx (d u)/(d x)

Assim, temos:

F^' (x) = (d)/(d x) int_0^u (d t)/(sqrt(1 - 2 t^2)) xx (d u)/(d x) = (1)/(sqrt(1 - 2 u^2)) xx (1)/(sqrt(1 - x^2)) = (1)/(sqrt(1 - x^2 ) sqrt(1 - 2 (s e n^(- 1) (x))^2))

Resposta

(1)/(sqrt(1 - x^2 ) sqrt(1 - 2 (s e n^(- 1) (x))^2))

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