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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 123

Determine d y // d x :

y = int_x^1 (6)/(3 + t^4) d t

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então F (x) = int_a^x f (t) d t é contínua em [ a , b ] e derivável em (a , b) e sua derivada f ( x ) é dada por:

F ' (x) = (d)/(d x) int_a^x f (t) d t = f ( x )

Contudo, neste caso, o limite inferior de integração é x . Para isso aplicamos a regra da Ordem de Integração, que é dada por:

int_b^a f (x) d x = - int_a^b f (x) d x

Assim, temos:

F ' ( x ) = (d y)/(d x) = (d)/(d x) int_x^1 (6)/(3 + t^4) d t = - int_1^x (6)/(3 + t^4) d t = - (6)/(3 + x^4)

Resposta

- (6)/(3 + x^4)

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