Calcule y'' nos Exercícios 71-78.

76. y = x^2 \* (x^3 - 1)^5

Passo 1

Então galera, para derivarmos y deveremos utilizar a regra do produto, que nos diz o seguinte:

y ' = u ' . v + u , v '

No qual, nesse caso, temos:

u = x ²

v =   ( x 3 - 1 ) 5

Passo 2

Descobrindo as derivadas de u e v , temos:

u ' = 2 x

v ' = 5 . x 3 - 1 4 . ( x 3 - 1 ) '

v ' = 5 . x 3 - 1 4 . 3 x ²

∴ v ' = 15 . x 3 - 1 4 . x ²

Substituindo na regra do produto, temos:

y ' = 2 x . ( x 3 - 1 ) 5 + x 2 . 15 . x 3 - 1 4 . x ²

y ' = 2 x . ( x 3 - 1 ) 5 + 15 x 4 . x 3 - 1 4

Colocando os termos semelhantes em evidência, teremos:

y ' = x 3 - 1 4 . [ 2 x . x 3 - 1 + 15 x 4 ]

∴ y ' = x 3 - 1 4 . [ 17 x 4 - 2 x ]

Passo 3

Agora que descobrimos y ' , para descobrirmos y ' ' também deveremos utilizar a regra que utilizamos anteriormente, que é a regra do produto. Mas nesse caso, temos que:

u = x 3 - 1 4  

v = 17 x 4 - 2 x

Descobrindo as derivadas, temos:

u ' = 4 . x 3 - 1 3 . ( x 3 - 1 ) '

∴ u ' = 12 x 2 . ( x 3 - 1 ) ³

v ' = 4.17 x 3 - 2

∴ v ' = 68 x 3 - 2

Passo 4

Jogando na regra do produto, teremos:

y ' ' = u ' . v + u . v '

y ' ' = 12 x 2 . x 3 - 1 3 . 17 x 4 - 2 x + x 3 - 1 4 . ( 68 x 3 - 2 )

y ' ' = x 3 - 1 3 . [ 12 x 2 . 17 x 4 - 2 x + x 3 - 1 . 68 x 3 - 2 ]

y ' ' = x 3 - 1 3 . [ 204 x 6 - 24 x 3 + 68 x 6 - 2 x 3 - 68 x 3 + 2 ]

∴ y ' ' = x 3 - 1 3 . [ 272 x 6 - 94 x 3 + 2 ]

Resposta

y ' ' = x 3 - 1 3 . [ 272 x 6 - 94 x 3 + 2 ]

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