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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 76

Calcule y ' ' nos Exercícios 71-78.

76. y = x^2 . ( x^3 - 1 )^5

Passo 1

Então galera, para derivarmos y deveremos utilizar a regra do produto, que nos diz o seguinte:

y^' = u^' . v + u , v '

No qual, nesse caso, temos:

u = x ²

v = ( x^3 - 1 )^5

Passo 2

Descobrindo as derivadas de u e v , temos:

u^' = 2 x

v^' = 5 . (x^3 - 1)^4 . ( x^3 - 1 ) '

v^' = 5 . (x^3 - 1)^4 . 3 x ²

:. v^' = 15 . (x^3 - 1)^4 . x ²

Substituindo na regra do produto, temos:

y^' = 2 x . ( x^3 - 1 )^5 + x^2 . 15 . (x^3 - 1)^4 . x ²

y^' = 2 x . ( x^3 - 1 )^5 + 15 x^4 . (x^3 - 1)^4

Colocando os termos semelhantes em evidência, teremos:

y^' = (x^3 - 1)^4 . [ 2 x . (x^3 - 1) + 15 x^4 ]

:. y^' = (x^3 - 1)^4 . [ 17 x^4 - 2 x ]

Passo 3

Agora que descobrimos y ' , para descobrirmos y ' ' também deveremos utilizar a regra que utilizamos anteriormente, que é a regra do produto. Mas nesse caso, temos que:

u = (x^3 - 1)^4

v = 17 x^4 - 2 x

Descobrindo as derivadas, temos:

u^' = 4 . (x^3 - 1)^3 . ( x^3 - 1 ) '

:. u^' = 12 x^2 . ( x^3 - 1 ) ³

v^' = 4.17 x^3 - 2

:. v^' = 68 x^3 - 2

Passo 4

Jogando na regra do produto, teremos:

y^(' ') = u^' . v + u . v^'

y^(' ') = 12 x^2 . (x^3 - 1)^3 . (17 x^4 - 2 x) + (x^3 - 1)^4 . ( 68 x^3 - 2 )

y^(' ') = (x^3 - 1)^3 . [ 12 x^2 . (17 x^4 - 2 x) + (x^3 - 1) . (68 x^3 - 2) ]

y^(' ') = (x^3 - 1)^3 . [ 204 x^6 - 24 x^3 + 68 x^6 - 2 x^3 - 68 x^3 + 2 ]

:. y^(' ') = (x^3 - 1)^3 . [ 272 x^6 - 94 x^3 + 2 ]

Resposta

y^(' ') = (x^3 - 1)^3 . [ 272 x^6 - 94 x^3 + 2 ]

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