Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 5
Encontre a menor distância do ponto à reta de equação é dada por .
Passo 1
Bom galerinha, note que aqui precisamos usar multiplicadores de Lagrange.
Primeiro, vamos lembrar que a distância de um ponto a uma reta é dada por
Passo 2
O que queremos é minimizar a distância de um ponto a reta que é dada por:
De modo que tal ponto esteja na elipse, ou seja, devemos impor a restrição:
Passo 3
Pronto, agora vamos resolver o sistema:
Isso implica que:
Passo 4
Fazendo , obtemos:
Substituindo esse resultado em :
Assim, obtemos os pontos:
Passo 5
Agora, basta substituirmos esses pontos na função distância e analisar qual deles oferece a menor distância. Assim temos que:
E
Contudo, a distancia mínima é:
Resposta
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