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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.6 - Ex. 1b

Calcule as seguintes integrais de superfície:

∬ S x y z   d s , onde S é o triangulo de vértices ( 1,0 , 0 ) , ( 0,1 , 0 ) e ( 0,0 , 1 ) .

Passo 1

Galerinha, primeiro devemos entender a superfície S   que estamos integrando.

A equação que vamos usar é:

∬ S f ( x , y , z )   d S = ∬ D f x , y , g x , y d z d x 2 + d z d y 2 + 1   d A

Passo 2

Sabemos que S é um triângulo de vértices ( 1,0 , 0 ) , ( 0,1 , 0 ) e 0,0 , 1 .

Vizualisando, nós temos que:

Da superfície S desenhada acima, temos que a equação do plano geral é

x + y + z = 1

⇒ x , y = ( x , y , 1 - x - y )

Note que, d z d x = 1 e d z d y = 1 , logo temos que:

d z d x 2 + d z d y 2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3

Vamos montar agora nosso plano ( x , y ) :

A região D   é dada por:

x + y = 1

com

0 ≤ y ≤ 1  

e

0 ≤ x ≤ 1 - y .

(Note que d A = d x d y .)

Passo 3

Portanto, podemos então montar a integral que desejamos:

∬ S x y z   d S = ∬ D f x , y , g x , y d z d x 2 + d z d y 2 + 1   d x d y

Isso implica que:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y x ⋅ y ⋅ 1 - x - y ⋅ 3   d x   d y = 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y x ⋅ y ⋅ 1 - x - y   d x   d y = 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y x ⋅ y - x 2 ⋅ y - x ⋅ y 2   d x   d y

Passo 4

Resolvendo primeiro a integral de dentro, temos que:

3 ∫ 0 1 x 2 ⋅ y 2 - x 3 ⋅ y 3 - x 2 y 2 2 0 1 - y d y

Substituindo o intervalo de integração:

3 ∫ 0 1 1 - y 2 ⋅ y 2 - 1 - y 3 ⋅ y 3 - 1 - y 2 y 2 2 d y = 3 ∫ 0 1 y 2 1 - 2 y + y 2 - y 3 1 - 3 y + 3 y 2 + y 3 - y 2 2 1 - 2 y + y 2 d y

Simplificando os termos:

3 ∫ 0 1 y 2 + y 3 2 - y 3 + y 4 3 - y 2 2 - y 4 2 d y = 3 ∫ 0 1 y 6 - y 2 2 + y 3 2 - y 4 6 d y

Agora resolvendo a integral de fora:

3 ∫ 0 1 y 6 - y 2 2 + y 3 2 - y 4 6 d y = 3 y 2 12 - y 3 6 + y 4 8 - y 5 30 0 1

Substituindo o intervalo de integração:

3 1 12 - 1 6 + 1 8 - 1 30 = 3 10 - 20 + 15 - 4 120 = 3 120

Resposta

3 120

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Calcule a área das seguintes superfíciesb) Superfície do cone z 2 = x 2 + y 2 situada entre os planos z = 0 e x + 2 z = 3 .
Considere γ o arco da parábola z = 3 - y 2 no plano y z compreendido entre as semi-retas z = z = 2 y e z = 11 2 y , com y ≥ 0 . Seja S a superfície obtida girando-se γ em torno do eixo z . Pede-se:b)
Considerando que a superfície S é obtida girando a curva z = x 2 , 0 ≤ x ≤ 4 , em torno do eixo z , pede-seb) A área da porção de S compreendida entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .
Calcule a área das seguintes superfícies c) Superfície do sólido limitado pelo cone z 2 = x 2 + y 2 e a parte superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .
Deseja-se construir uma pela de zinco que tem a forma de superfície de equação z = 1 - x 2 , compreendida entre os planos y = 0 ,z = 0 e o cilindro z = 1 - y 2 , y ≥ 0 . Se o metro quadrado do zinco c