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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 30

Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.

30. y =   1 x . s e n - 5 x - x 3 . c o s ³ x

Passo 1

Então galera, para derivarmos essa função notamos que teremos que fazer duas regras do produto, não é? Uma regra para o primeiro termo que multiplica o seno e outra para o segundo termo que multiplica o cosseno.

Sabemos que a derivada de uma subtração é igual a subtração das derivadas, dessa forma, vamos separar as funções, fazendo a derivada da primeira e, em seguida, da segunda, tranquilão? Let’s go!

Passo 2

A primeira função é 1 x . s e n - 5 x . Como temos uma regra do produto, então teremos uma derivada no formato: u ' . v + u . v ' .

u =   1 x ,   u ' =   - 1 x ²

v = s e n - 5 x ,   v ' =   - 5 . s e n - 6 x . cos ⁡ x  

Aplicando na fórmula, teremos:

- 1 x 2 s e n - 5 x - 5 x . s e n - 6 x . cos ⁡ x  

Passo 3

A segunda função é - x 3 . c o s ³ x . Como temos uma regra do produto, então teremos uma derivada no formato: u ' . v + u . v ' .

u = - x 3 ,   u ' = - 1 3  

v = c o s 3 x ,   v ' = 3   c o s 2 x . ( - s e n   x )

Aplicando na fórmula, teremos:

- 1 3 c o s 3 x + x 3 3   c o s 2 x . s e n   x

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas, basta que somemos esses resultados, se liga:

y ' =   - 1 x 2 s e n - 5 x - 5 x . s e n - 6 x . cos ⁡ x - 1 3 c o s 3 x + x 3 3   c o s 2 x . - s e n   x  

Simplificando, teremos:

y ' = - 1 x 2 s e n - 5 x - 5 x . s e n - 6 x . cos ⁡ x   - 1 3 c o s 3 x + x . c o s 2 x . s e n   x

Resposta

y ' = - 1 x 2 s e n - 5 x - 5 x . s e n - 6 x . cos ⁡ x   - 1 3 c o s 3 x + x . c o s 2 x . s e n   x

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