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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 31

Calcule a integral

int tan^5 (x) d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Vamos fazer o seguinte,

int tan^5 (x) d x = int tan^4 (x) t a n ( x ) d x = int (tan^2 (x))^2 t a n ( x ) d x

A gente precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: tan^2 ( x ) + 1 = sec^2 ( x )

Então, substituindo

int (tan^2 (x))^2 t a n ( x ) d x = int (sec^2 (x) - 1)^2 t a n ( x ) d x = int (sec^4 (x) tan (x) - 2 sec^2 (x) tan (x) + tan (x)) d x

Pra facilitar, vamos separar essa integral em 3 integrais

int (sec^4 (x) tan (x) - 2 sec^2 (x) tan (x) + tan (x)) d x = int sec^4 (x) t a n ( x ) d x - 2 int sec^2 (x) t a n ( x ) d x + int t a n ( x ) d x

Passo 2

Vamos calcular separadamente cada integral pra depois substituirmos.

Calculando a primeira integral, temos

int sec^4 (x) t a n ( x ) d x = int sec^3 (x) s e c ( x ) t a n ( x ) d x

Seja u = s e c ( x ) , temos que d u = sec (x) tan (x) d x , então, substituindo

int sec^3 (x) s e c ( x ) t a n ( x ) d x = int u^3 d u = (1)/(4) u^4 + c = (1)/(4) sec^4 (x) + c_1

Calculando a segunda integral, temos

int sec^2 (x) t a n ( x ) d x

Seja u = t a n ( x ) , temos que d u = sec^2 ( x ) d x , então, substituindo

int sec^2 (x) t a n ( x ) d x = int u d u = (1)/(2) u^2 + c = (1)/(2) tan^2 (x) + c_2

Calculando a terceira e ultima integral, temos

int t a n ( x ) d x = l n | s e c ( x ) | + c_3

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Passo 3

Agora que calculamos cada integral, podemos substituir o resultado de cada uma

int sec^4 (x) t a n ( x ) d x - 2 int sec^2 (x) t a n ( x ) d x + int t a n ( x ) d x = (1)/(4) sec^4 (x) + c_1 - 2 ((1)/(2) tan^2 (x) + c_2) + l n | s e c ( x ) | + c_3

Pensa no seguinte, se somarmos três constantes, o resultado será uma nova constante, então podemos substituir todas as constantes por uma constate só, que vou chamar arbritrariamente de k . Então

(1)/(4) sec^4 (x) + c_1 - 2 ((1)/(2) tan^2 (x) + c_2) + l n | s e c ( x ) | + c_3 = (1)/(4) sec^4 (x) - tan^2 (x) + ln |sec (x)| + k

Resposta

int tan^5 (x) d x = (1)/(4) sec^4 (x) - tan^2 (x) + ln |sec (x)| + k

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