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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.2 - Ex. 25

Calcule a integral

int sec^6 (t) d t

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral

int sec^6 (t) d t

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral.

Vamos fazer o seguinte,

int sec^6 (t) d t = int sec^4 (t) * sec^2 (t) d t

A gente precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: tan^2 ( t ) + 1 = sec^2 ( t )

Então, substituindo

int sec^4 (t) * sec^2 (t) d t = int (tan^2 (t) + 1)^2 * sec^2 ( t ) d t

Agora, podemos resolver por meio da substituição

Seja u = tan (t) , então d u = sec^2 ( t ) d t

Veja só!

Passo 2

Aplicando o método de substituição...

int (tan^2 (t) + 1)^2 * sec^2 (t) d t = int (u^2 + 1)^2 d u = int (u^4 + 2 u^2 + 1) d u

Viu como ficou mais simples?! Agora é só a gente integrar esse polinômio do mesmo jeito que integramos x^(alpha) , está lembrado? Então integrando...

int (u^4 + 2 u^2 + 1) d u = (1)/(5) u^5 + (2)/(3) u^3 + 1 u + c

Substituindo u = tan (t)

(1)/(5) u^5 + (2)/(3) u^3 + 2 u = (1)/(5) tan^5 ( t ) + (2)/(3) tan^3 ( t ) + tan (t) + c

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

int sec^6 (t) d t = (1)/(5) tan^5 ( t ) + (2)/(3) tan^3 ( t ) + tan (t) + c

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