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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 35

Calcule a integral

int_((pi)/(6))^((pi)/(2)) c o t g^2 (x) d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral.

Uma forma de facilitar a resolução de integrais trigonométricas é utilizar das identidades trigonométricas.

Passo 2

Precisamos relembrar a seguinte propriedade trigonométrica: cot^2 ( x ) = csc^2 ( x ) - 1 .

Então, substituindo

int_((pi)/(6))^((pi)/(2)) cot^2 (x) d x = int_((pi)/(6))^((pi)/(2)) (csc^2 (x) - 1) d x

Tabeladamente sabemos que:

int csc^2 x d x = cot x + C

= [- cot (x) - x]_((pi)/(6))^((pi)/(2))

= [- cot ((pi)/(6)) - (pi)/(6)] - [- cot ((pi)/(2)) - (pi)/(2)]

= (0 - (pi)/(2)) - (- sqrt(3) - (pi)/(6))

= sqrt(3) - (pi)/(3)

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

int_((pi)/(6))^((pi)/(2)) c o t g^2 (x) d x = sqrt(3) - (pi)/(3)

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