Mostre que ∫ 0 ∞ x 2 e - x 2 d x = 1 2 ∫ 0 ∞ e - x 2 d x   .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a integral imprópria ∫ 0 ∞ x 2 e - x 2 d x   é igual à outra integral, 1 2 ∫ 0 ∞ e - x 2 d x .

Pra isso, vamos usar a técnica de integração por partes ( ∫ u   d v = u v - ∫ v   d u ) na primeira integral e tentar chegar na segunda.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar definindo as variáveis da nossa integral por partes. Nossa integral é dada por ∫ 0 ∞ x 2 e - x 2 d x , então vamos definir u e v junto com suas derivadas:

u = x d v = x e - x 2 d x d u = d x v = - 1 2 e - x 2

Substituindo isso na fórmula da integração por partes, temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ x 2 e - x 2 d x = x - 1 2 e - x 2 - ∫ - 1 2 e - x 2   d x

= - 1 2 x e - x 2 + 1 2 ∫ e - x 2   d x

Passo 3

Agora vamos inserir nosso intervalo de integração, considerando o limite de quando x → ∞ . Assim, temos:

∫ 0 ∞ x 2 e - x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ - 1 2 x e - x 2 0 t + 1 2 ∫ 0 ∞ e - x 2 d x

Aplicando o intervalo no primeiro termo do lado direito da equação, temos:

= l i m t → ∞ - t 2 e t 2 + 1 2 ∫ 0 ∞ e - x 2 d x

Aplicando a regra de L’Hospital e aplicando o limite, teremos:

= 0 + 1 2 ∫ 0 ∞ e - x 2 d x

Portanto,

∫ 0 ∞ x 2 e - x 2 d x = 1 2 ∫ 0 ∞ e - x 2 d x

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∫ 0 ∞ x 2 e - x 2 d x = 1 2 ∫ 0 ∞ e - x 2 d x  

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