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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 77

Mostre que int_0^(oo) x^2 e^(- x^2) d x = (1)/(2) int_0^(oo) e^(- x^2) d x .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a integral imprópria int_0^(oo) x^2 e^(- x^2) d x é igual à outra integral, (1)/(2) int_0^(oo) e^(- x^2) d x .

Pra isso, vamos usar a técnica de integração por partes ( int u d v = u v - int v d u ) na primeira integral e tentar chegar na segunda.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar definindo as variáveis da nossa integral por partes. Nossa integral é dada por int_0^(oo) x^2 e^(- x^2) d x , então vamos definir u e v junto com suas derivadas:

{[[u,=,x,d,v,=,x,e^(- x^2),d,x],[d,u,=,d,x,v,=,-,(1)/(2),e^(- x^2)]])

Substituindo isso na fórmula da integração por partes, temos:

int u d v = u v - int v d u

int x^2 e^(- x^2) d x = (x) (- (1)/(2) e^(- x^2)) - int (- (1)/(2) e^(- x^2)) d x

= - (1)/(2) x e^(- x^2) + (1)/(2) int e^(- x^2) d x

Passo 3

Agora vamos inserir nosso intervalo de integração, considerando o limite de quando x -> oo . Assim, temos:

int_0^(oo) x^2 e^(- x^2) d x = underset(t -> oo)(lim) [- (1)/(2) x e^(- x^2)]_0^t + (1)/(2) int_0^(oo) e^(- x^2) d x

Aplicando o intervalo no primeiro termo do lado direito da equação, temos:

= underset(t -> oo)(l i m) (- (t)/(2 e^(t^2))) + (1)/(2) int_0^(oo) e^(- x^2) d x

Aplicando a regra de L’Hospital e aplicando o limite, teremos:

= 0 + (1)/(2) int_0^(oo) e^(- x^2) d x

Portanto,

int_0^(oo) x^2 e^(- x^2) d x = (1)/(2) int_0^(oo) e^(- x^2) d x

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

int_0^(oo) x^2 e^(- x^2) d x = (1)/(2) int_0^(oo) e^(- x^2) d x

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Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
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