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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 6

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ 5 ∞ 1 x - 1   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral imprópria e verificar se ele converge. Neste caso, vamos calcular primeiro a integral

I = ∫ 5 t 1 x - 1   d x

e sem seguida tomar o limite t → ∞ .

Note que o ponto em que o integrando diverge é x = 1 , que não está no intervalo de integração. Assim, só precisamos nos preocupar com o limite de integração infinito!

Passo 2

Vamos calcular a primitiva:

I = ∫ 5 t x - 1 - 1 / 2   d x = x - 1 1 2 1 2 5 t = 2 x - 1 5 t

Assim,

I = 2   t - 1 - 2 4 = 2   t - 1 - 4

Passo 3

Quando tomamos o limite t → ∞ , temos que t - 1 → ∞ . Assim, o limite diverge, de modo que a integral imprópria é divergente.

Resposta

Diverge.

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