(a) Faça uma conjectura sobre o valor do limite

lim k → 0 ⁡ ∫ 1 b t k - 1 d t     ( b > 0 )

(b) Verifique sua conjectura calculando a integral e depois encontrando o limite. [Sugestão: Interprete o limite como a definição da derivada de uma função exponencial.]

Passo 1

(a) A conjectura que a gente pode fazer é calcular o limite antes da integral, substituindo k = 0 :

lim k → 0 ⁡ ∫ 1 b t k - 1 d t = ∫ 1 b t - 1 d t = ln ⁡ b - ln ⁡ 1 = ln ⁡ b

A nossa conjectura diz que esse limite vale ln ⁡ b .

Passo 2

(b) Agora a gente precisa calcular a integral e depois o limite:

lim k → 0 ⁡ ∫ 1 b t k - 1 d t

É uma integral de polinômio. É só a gente usar a regrinha:

∫ t n d t = t n + 1 n + 1

Sendo que, para gente, n = k - 1 . A integral fica:

lim k → 0 ⁡ ∫ 1 b t k - 1 d t = lim k → 0 ⁡ t k k ​ 1 b = lim k → 0 ⁡ b k k - 1 k = lim k → 0 ⁡ b k - 1 k

Passo 3

Vamos usar a sugestão que ele deu e interpretar esse limite como a definição de derivada. Ela tem essa cara:

f ' t = lim k → 0 ⁡ f t + k - f t k

E podemos reescrever nosso limite assim:

lim k → 0 ⁡ b k - b 0 k

Comparando as duas expressões, podemos dizer que:

t = 0

f t = b t

Então queremos calcular f ' ( 0 ) , sendo:

f ' t = b t ln ⁡ b

f ' 0 = ln ⁡ b

Nosso limite fica:

lim k → 0 ⁡ b k - b 0 k = f ' 0 = ln ⁡ b

Nossa conjectura estava certinha.

Resposta

  1. lim k → 0 ⁡ ∫ 1 b t k - 1 d t = ln ⁡ b
  2. A conjectura estava certa.
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