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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 4

Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

4.

int_0^2 (d x)/(8 + 2 x^2)

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Vamos usar essa imagem de referência

Esse caso se encaixa no caso I.

Passo 2

Vamos começar manipulando um pouco nossa integral, começando por colocar o 2 em evidência

int_0^2 (d x)/(2 (4 + x^2)) = (1)/(2) int_0^2 (d x)/((4 + x^2))

Passo 3

Agora nós teremos a mesma integral do exercício anterior.

Vamos começar manipulando um pouco nossa integral, começando por colocar o 4 em evidência

int_0^2 (d x)/(4 (1 + (x^2)/(4))) = (1)/(4) int_0^2 (d x)/((1 + ((x)/(2))^2))

Agora podemos fazer a substituição

u = (x)/(2) d u = (1)/(2) d x

Então teremos

(1)/(4) int_0^1 (2 d u)/((1 + (u)^2)) = (1)/(2) int_0^1 (d u)/((1 + (u)^2))

Agora é só calcular a integral

(1)/(2) int_0^1 (d u)/((1 + (u)^2)) = (1)/(2) a r c t g u_0^1

Passo 4

Agora é só calcular a integral

(1)/(2) [(1)/(2) a r c t g [(x)/(2)]_0^2] = (1)/(2) [(1)/(2) a r c t g 1 - (1)/(2) a r c t g 0] = (1)/(2) [(1)/(2) * (pi)/(4) - 0] = (pi)/(16)

Resposta

(pi)/(16)

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c)int c o s (2 x) cos (x) d x
e)int_(- pi)^(pi) s e n (n x) cos (m x) d x
a)int s e n (7 x) cos (2 x) d x
b)int s e n (3 x) sen (5 x) d x
3) Calcule int_(- pi)^(pi) s e n (n x) s e n (m x) d x , sendo m e n naturais não-nulos.