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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.8 - Ex. 1c

c) int c o s (2 x) cos (x) d x

Passo 1

Esse tipo de questão é bem clássico e temos que saber resolver! A estratégia é a seguinte:

Lá da trigonometria, temos:

c o s (a) * c o s (b) = (1)/(2) * (c o s (a + b) + c o s (a - b))

Tá com medo de esquecer? É só fazer assim ó:

c o s (a - b) = c o s (a) * cos (b) + s e n (a) * sen (b)

c o s (a + b) = c o s (a) * cos (b) - s e n (a) * sen (b)

Somando as duas:

c o s (a - b) + c o s (a + b) = 2 * c o s (a) * cos (b)

Logo,

c o s (a) * c o s (b) = (1)/(2) * (c o s (a - b) + c o s (a + b))

Passo 2

Agora vamos usar aquela relação do ali de cima para transformar de produto em soma!

c o s (2 x) cos (x) = (1)/(2) * (c o s (2 x + x) + c o s (2 x - x))

Isto é,

c o s (2 x) cos (x) = (1)/(2) * (c o s (3 x) + c o s (x))

Não esquece: int c o s (x) d x = s e n ( x ) + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = int c o s (2 x) cos (x) d x = int (1)/(2) * (c o s (3 x) + c o s (x)) d x

Logo,

I = (1)/(2) * int c o s (3 x) d x + (1)/(2) * int c o s (x) d x = (1)/(2) * (sen (3 x))/(3) + (1)/(2) * (sen ( x ))/(1) + c

Por fim, temos:

I = (sen (3 x))/(6) + (sen (x))/(2) + c

Resposta

(sen (3 x))/(6) + (sen (x))/(2) + c

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