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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.8 - Ex. 3

3) Calcule int_(- pi)^(pi) s e n (n x) s e n (m x) d x , sendo m e n naturais não-nulos.

Passo 1

Esse tipo de questão é bem clássico e temos que saber resolver! A estratégia é a seguinte:

Lá da trigonometria, temos:

s e n (a) * s e n (b) = (1)/(2) * (c o s (a - b) - c o s (a + b))

Tá com medo de esquecer? É só fazer assim ó:

c o s (a - b) = c o s (a) * cos (b) + s e n (a) * sen (b)

c o s (a + b) = c o s (a) * cos (b) - s e n (a) * sen (b)

Subtraindo as duas:

c o s (a - b) - c o s (a + b) = 2 * s e n (a) * sen (b)

Logo,

s e n (a) * s e n (b) = (1)/(2) * (c o s (a - b) - c o s (a + b))

Passo 2

Agora vamos usar aquela relação do ali de cima para transformar de produto em soma!

s e n (n x) * sen (m x) = (1)/(2) * (c o s (n x + m x) - c o s (n x - m x))

Não esquece: int c o s (x) d x = s e n ( x ) + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = int_(- pi)^(pi) s e n (n x) * sen (m x) d x = int_(- pi)^(pi) (1)/(2) * (c o s (n x + m x) - c o s (n x - m x)) d x

Aqui temos que tomar um cuidado, pois n pode ser igual a m e quando formos resolver a integral iremos dividir por n - m .

Caso 1: n != m

Resolvendo, vai ficar assim:

I = (1)/(2) * ((sen ((n + m) x))/(n + m) + (sen ((n - m) x))/(n - m)) |_(- pi)^(pi)

Por fim, temos:

I = - (1)/(2) * (((sen ((n + m) pi))/(n + m) - (sen (- (n + m) pi))/(n + m)) - ((sen ((n - m) pi))/(n - m) - (sen (- (n - m) pi))/(n - m)))

Lembrete: s e n (- x) = - s e n ( x )

Usando esse lembrete aqui de cima:

I = - (1)/(2) * (((sen ((n + m) pi))/(n + m) + (sen ((n + m) pi))/(n + m)) - ((sen ((n - m) pi))/(n - m) + (sen ((n - m) pi))/(n - m)))

I = - (2)/(2) * (((sen ((n + m) pi))/(n + m)) - ((sen ((n - m) pi))/(n - m)))

Como o seno de qualquer múltiplo inteiro de pi é zero, temos:

I = 0

Caso 2: n = m

I = (1)/(2) * (int_(- pi)^(pi) c o s ((n + m) x) d x + int_(- pi)^(pi) c o s (0) d x) = (1)/(2) * (int_(- pi)^(pi) c o s ((n + m) x) d x + int_(- pi)^(pi) d x)

Logo,

I = (1)/(2) * ((s e n (n + m) x)/(n + m) |_(- pi)^(pi) + x |_(- pi)^(pi))

(s e n (n + m) x)/(n + m) |_(- pi)^(pi) = ((sen ((n + m) pi))/(n + m)) - ((sen ((n - m) pi))/(n - m)) = 0

Assim,

I = (1)/(2) * ((s e n (n + m) x)/(n + m) |_(- pi)^(pi) + x |_(- pi)^(pi)) = (1)/(2) * ( 0 + (pi - (- pi)) = (1)/(2) * 2 pi = pi

Resposta

Se n != m :

0

Se n = m :

pi

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