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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.8 - Ex. 1b

b) int s e n (3 x) sen (5 x) d x

Passo 1

Esse tipo de questão é bem clássico e temos que saber resolver! A estratégia é a seguinte:

Lá da trigonometria, temos:

s e n (a) * s e n (b) = (1)/(2) * (c o s (a - b) - c o s (a + b))

Tá com medo de esquecer? É só fazer assim ó:

c o s (a - b) = c o s (a) * cos (b) + s e n (a) * sen (b)

c o s (a + b) = c o s (a) * cos (b) - s e n (a) * sen (b)

Subtraindo as duas:

c o s (a - b) - c o s (a + b) = 2 * s e n (a) * sen (b)

Logo,

s e n (a) * s e n (b) = (1)/(2) * (c o s (a - b) - c o s (a + b))

Passo 2

Agora vamos usar aquela relação do ali de cima para transformar de produto em soma!

s e n (3 x) * sen (5 x) = (1)/(2) * (c o s (3 x - 5 x) - c o s (3 x + 5 x))

Isto é,

s e n (7 x) * c o s (2 x) = (1)/(2) * (c o s (- 2 x) - c o s (8 x))

Não esquece: int c o s (x) d x = s e n ( x ) + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = int s e n (7 x) * c o s (2 x) d x = int (1)/(2) * (c o s (- 2 x) - c o s (8 x)) d x

Logo,

I = (1)/(2) * int c o s (- 2 x) d x - (1)/(2) * int c o s (8 x) d x = (1)/(2) * (sen (- 2 x))/(- 2) - (1)/(2) * (sen (8 x))/(8) + c

Por fim, temos:

I = - (sen (- 2 x))/(4) - (sen (8 x))/(16) + c = (sen (2 x))/(4) - (sen (8 x))/(16) + c

Lembrete: s e n (- x) = - s e n ( x )

Resposta

(sen (2 x))/(4) - (sen (8 x))/(16) + c

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