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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 6

Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

6.

int_0^((1)/(2 sqrt(2))) (2 d x)/(sqrt(1 - 4 x^2))

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Vamos usar essa imagem de referência

Esse caso se encaixa no caso II.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição

u = 2 x d u = 2 d x

E nossa integral fica o seguinte

int (d u)/(sqrt(1 - u^2))

Passo 3

Vamos fazer uma substituição

u = s e n ѳ d u = c o s ѳ d ѳ

E nossa integral fica o seguinte

int (c o s ѳ d ѳ)/(sqrt(1 - s e n^2 ѳ))

Passo 4

Mas sabemos que

sqrt(1 - s e n^2 ѳ) = cos ѳ

Então

int (cos ѳ)/(sqrt(1 - s e n^2 ѳ)) d ѳ = int (cos ѳ)/(cos ѳ) d ѳ = int d ѳ

Então o resultado da integral é

int d ѳ = ѳ

Passo 5

Mas sabemos que

u = s e n ѳ

Então

ѳ = a r c s e n (u)

Sabemos também que

u = 2 x

Então

ѳ = a r c s e n ( 2 x )

Logo

ѳ = [a r c s e n (2 x)]_0^((1)/(2 sqrt(2))) = a r c s e n (2 (1)/(2 sqrt(2))) - a r c s e n (0) = (pi)/(4) - 0 = (pi)/(4)

Resposta

(pi)/(4)

sqrt(9 - x^2)

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a) int cos (x) root(3)(s e n (x)) d x
2. Seja f x uma função contínua. a) Mostre que a mudança de variável u = s e n ( x ) transforma a integral ∫ f s e n x ⋅ cos ⁡ x d x em ∫ f u d u
e) int (cos^3 ( x ))/(s e n^7 ( x )) d x
c) int (s e n (x))/(c o s^5 (x)) d x
d) int (s e n^3 (x))/(cos (x)) d x