e) int_(- pi)^(pi) s e n (n x) cos (m x) d x

Passo 1

Esse tipo de questão é bem importante! A estratégia é a seguinte: Repara que estamos integrando entre os pontos - pi e pi . Sempre quando for integrar uma função entre os pontos - a e a , é importante verificar se ela é ímpar.

f (x) = s e n (n x) * cos (m x)

Pois pelo teorema temos que se f é uma função ímpar, então:

int_(- a)^a f (x) d x = 0

Esse teorema é bem importante, pois economiza muita conta!!

Então vamos verificar se essa função é impar!

Passo 2

Temos que uma função é ímpar quando,

f (- x) = - f ( x )

Agora vamos ver como se comparta a f ( - x ) :

f (- x) = s e n (- n x) * cos (- m x)

Lá da trigonometria a gente sabe o seguinte:

s e n (- x) = - s e n ( x )

E

cos (- x) = c o s ( x )

Voltando para nossa função, temos:

f (- x) = - s e n (n x) * cos (m x)

Isto é:

f (- x) = - f ( x )

Portanto, f é uma função ímpar!

Agora vamos aplicar o teorema.

Passo 3

Como a função que queremos integrar é ímpar e estamos integrando de - pi a pi . Então o valor da nossa integral será 0!!

int_(- pi)^(pi) s e n (n x) cos (m x) d x = 0

Resposta

0

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