e) ∫ - π π s e n n x cos ⁡ m x d x

Passo 1

Esse tipo de questão é bem importante! A estratégia é a seguinte: Repara que estamos integrando entre os pontos - π e π . Sempre quando for integrar uma função entre os pontos - a e a , é importante verificar se ela é ímpar.

f x = s e n n x ⋅ cos ⁡ m x

Pois pelo teorema temos que se f é uma função ímpar, então:

∫ - a a f x d x = 0

Esse teorema é bem importante, pois economiza muita conta!!

Então vamos verificar se essa função é impar!

Passo 2

Temos que uma função é ímpar quando,

f - x = - f ( x )

Agora vamos ver como se comparta a f ( - x ) :

f - x = s e n - n x ⋅ cos ⁡ - m x

Lá da trigonometria a gente sabe o seguinte:

s e n - x = - s e n ( x )

E

cos ⁡ - x = c o s ⁡ ( x )

Voltando para nossa função, temos:

f - x = - s e n n x ⋅ cos ⁡ m x

Isto é:

f - x = - f ( x )

Portanto, f é uma função ímpar!

Agora vamos aplicar o teorema.

Passo 3

Como a função que queremos integrar é ímpar e estamos integrando de - π a π . Então o valor da nossa integral será 0!!

∫ - π π s e n n x cos ⁡ m x d x = 0

Resposta

0

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