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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 16

Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.

16. int_0^((pi)/(6)) ( sec x + t g x ) ² d x

Passo 1

Então galera, inicialmente vamos abrir esse produto notável aí, ok? Se liga como vai ficar:

int_0^((pi)/(6)) ( s e c ² x + 2 sec x . t g x + t g ² x ) d x

Sabendo que a integral de uma soma é igual a soma das integrais, teremos

int_0^((pi)/(6)) s e c ² x d x + 2 int_0^((pi)/(6)) sec x . t g x d x + int_0^((pi)/(6)) t g ² x d x

Além disso, podemos escrever essa t g ² x de outra maneira segundo a trigonometria, não é mesmo? Se Liga:

int_0^((pi)/(6)) s e c ² x d x + 2 int_0^((pi)/(6)) sec x . t g x d x + int_0^((pi)/(6)) (s e c^2 x - 1) d x

Abrindo e unindo os termos semelhantes:

2 int_0^((pi)/(6)) s e c ² x d x + 2 int_0^((pi)/(6)) sec x . t g x d x - int_0^((pi)/(6)) d x

Passo 2

Para resolvermos as duas primeiras integrais, devemos utilizar o raciocínio do teorema fundamental do cálculo, ok? Temos que pensar o seguinte: qual é a função que quando derivada dá o integrando? Isto é:

F^' (x) = (d)/(d x) int_0^x f ( t ) d t = f ( x )

Parece um bicho de 7 cabeças, não é mesmo? Mas fazendo algumas questões já fica claro que não é. Se liga!

Passo 3

Que função que derivamos e dá s e c ² x ? Sim, é a função t g x !

Que função que derivamos e dá sec x . t g x ? Sim, é a função sec x !

Sendo assim, teremos:

2 int_0^((pi)/(6)) s e c ² x d x + 2 int_0^((pi)/(6)) sec x . t g x d x - int_0^((pi)/(6)) d x = 2 [t g x] ((pi)/(6))/(0) + 2 [sec x] ((pi)/(6))/(0) - [ x ] ((pi)/(6))/(0)

2 int_0^((pi)/(6)) s e c ² x d x + 2 int_0^((pi)/(6)) sec x . t g x d x - int_0^((pi)/(6)) d x = 2 sqrt(3) - (pi)/(6) - 2

:. int_0^((pi)/(6)) ( sec x + t g x ) ² d x = 2 sqrt(3) - (pi)/(6) - 2

Resposta

int_0^((pi)/(6)) ( sec x + t g x ) ² d x = 2 sqrt(3) - (pi)/(6) - 2

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