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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 59

Calcule a integral:

int_(- ln 2)^0 cosh^2 ((x)/(2)) d x

Passo 1

Vamos usar a relação que diz que:

cosh^2 x = (cosh 2 x + 1)/(2)

Aplicando na nossa integral, ficamos com:

int_(- ln 2)^0 (cosh x + 1)/(2) d x = (1)/(2) int_(- ln 2)^0 cosh x + 1 d x

Integrando, temos:

(1)/(2) (s e n h x + x) | (0)/(- l n 2)

Passo 2

Vamos jogar os limites de integração agora e resolver:

(1)/(2) (s e n h x + x) | (0)/(- l n 2) = (1)/(2) ( (s e n h 0 + 0) - ( s e n h (- l n 2) - ln 2 ) )

Sabemos que s e n h x = (e^x - e^(- x))/(2) , então vamos substituir e achar o valor da integral:

(1)/(2) ( s e n h 0 - (s e n h (- l n 2) - ln 2 )) = (1)/(2) (((e^0 - e^(- 0))/(2)) - ((e^(- l n 2) - e^(ln 2))/(2)) ( - ln 2 )) = (1)/(2) (0 - (((1)/(2) - 2))/(2) + ln 2) = (1)/(2) ( 1 - (1)/(4) + ln 2 ) = (3)/(8) + ln 2

E pronto!

Resposta

(3)/(8) + ln 2

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