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  1. Trace em um mesmo gráfico y = sen x e as curvas ln(a + sen x) para a = 2, 4,8, 20 e 50 para 0 ≤ x ≤ 23 .
  2. Por que as curvas se achatam à medida que a aumenta? (Dica: determine um limite superior dependente de a para | y' | .)

Passo 1

Letra a)

Gráfico das funções:

Legenda:

Passo 2

Letra b)

Um gráfico para ser constante tem que ter a primeira derivada valendo 0. Então fazendo a derivada pela regra da cadeia da função genérica l n ⁡ ( a + s e n   x ) .

y ' = 1 a + s e n   x × ( 0 + cos ⁡ x )

y ' = cos ⁡ x a + s e n   x

Como as funções cosseno e seno são limitadas entre - 1 e 1 não tem o que se tirar dai sobre o comportamento, a não ser que quando cos ⁡ x = 0 a função teria um ponto de máximo ou mínimo.

Mas para:

lim a → ∞ ⁡ cos ⁡ x a + s e n   x = - 1 ≤ cos ⁡ x ≤ 1 ∞ = 0

Então para a tendendo a infinito cada vez mais a função tende a ser uma reta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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