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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 53

Calcule a integral:

int_(- ln 4)^(- ln 2) 2 e^(theta) cosh theta d theta

Passo 1

Sabemos que cosh x = (e^x + e^(- x))/(2) , vamos reescrever a integral como:

Então, vamos escrever a integral como uma potência:

int_(- ln 4)^(- ln 2) 2 e^(theta) cosh theta d theta = int_(- ln 4)^(- l n 2 ) 2 e^(theta) ( (e^(theta) + e^(- theta))/(2) ) d theta = int_(- ln 4)^(- l n 2 ) 2 e^(theta) ( (e^(theta) + (1)/(e^(theta)))/(2) ) d theta = int_(- ln 4)^(- l n 2 ) e^(theta) ( e^(theta) + (1)/(e theta) ) d theta = int_(- ln 4)^(- l n 2 ) e^(2 theta) + 1 d theta

Agora é só integrar essa última integral...

Passo 2

int_(- ln 4)^(- l n 2 ) e^(2 theta) + 1 d theta = (e^(2 theta))/(2) + theta ] (- ln 2)/(- ln 4)

Jogamos os limites...

(e^(- 2 l n 2))/(2) - ln 2 - ((e^(- 2 l n 4))/(2) - l n 4) = (1)/(8) - ln 2 - ( (1)/(32) - ln 4 ) = (3)/(32) + ln 2

Resposta

(3)/(32) + ln 2

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