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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 28

Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.

28. int_0^(pi) (1)/(2) ( cos x + cos |x| ) d x

Passo 1

Então pessoal, para resolver essa integral, como temos esse IRRITANTE módulo, devemos modificar esse intervalo de integração. Sabemos que a função cosseno é positiva em [0 , (pi)/(2)] e negativa em [(pi)/(2) , pi] . Sendo assim, podemos fazer:

(1)/(2) int_0^(pi) cos x d x + (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) cos x d x - (1)/(2) int_((pi)/(2))^(pi) cos x d x

Passo 2

Para resolvermos essa integral de cosseno, devemos pensar em uma função que quando derivada, resulta em cos x . De acordo com o que vimos em derivação, essa função é s e n x , certo? Sendo assim, teremos:

(1)/(2) int_0^(pi) cos x d x + (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) cos x d x - (1)/(2) int_((pi)/(2))^(pi) cos x d x = (1)/(2) [s e n x] (pi)/(0) + (1)/(2) [s e n x] ((pi)/(2))/(0) - (1)/(2) [s e n x] ((pi)/(pi))/(2)

(1)/(2) int_0^(pi) cos x d x + (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) cos x d x - (1)/(2) int_((pi)/(2))^(pi) cos x d x = (1)/(2) + (1)/(2)

:. int_0^(pi) (1)/(2) ( cos x + cos |x| ) d x = 1

Resposta

int_0^(pi) (1)/(2) ( cos x + cos |x| ) d x = 1

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